X^4-p/Irreduzibel über Q/Aufgabe

Sei ${}p$ eine Primzahl.

a) Zeige, dass das Polynom ${}X^{4}-p$ irreduzibel über ${}\mathbb {Q}$ ist.

b) Schließe daraus, dass

${}\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{p}}]\subseteq \mathbb {R} \,$

über ${}\mathbb {Q}$ den Grad vier besitzt.

c) Finde einen echten Zwischenkörper

${}\mathbb {Q} \subseteq K\subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{p}}]\,.$

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