X^y/Definitionsbereich/Differenzierbar/Ableitung/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}x^{y}=e^{y\ln x}\,,$

   daher ist der Definitionsbereich ${}\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R}$.

2. Die partiellen Ableitungen sind

   ${\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {y}{x}}\cdot e^{(\ln x)\cdot y}={\frac {y}{x}}\cdot x^{y}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=(\ln x)\cdot e^{(\ln x)\cdot y}=(\ln x)\cdot x^{y}.$

   Die Jacobi-Matrix ist also

   $\left({\frac {y}{x}}\cdot x^{y},\,(\ln x)\cdot x^{y}\right).$

3. Da die partiellen Ableitungen überall existieren und stetig sind, ist die Funktion nach Fakt total differenzierbar.

Zur gelösten Aufgabe