Z^n/Spektrum/Fundamentalgruppe/Matrix/Abbildung/Aufgabe

Es sei ${}M\in \operatorname {Mat} _{s\times r}(\mathbb {Z} )$ eine ${}s\times r$-Matrix mit ganzzahligen Koeffizienten. Es sei ${}\mathbb {Z} ^{r}\rightarrow \mathbb {Z} ^{s}$ der zugehörige Gruppenhomomorphismus,

${\mathbb {C} }[X_{1},X_{1}^{-1},\ldots ,X_{r},X_{r}^{-1}]\longrightarrow {\mathbb {C} }[Y_{1},Y_{1}^{-1},\ldots ,Y_{s},Y_{s}^{-1}],\,X_{j}\longmapsto Y^{m_{j}},$

der zugehörige ${}{\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismus, wobei ${}m_{j}$ die ${}j$-te Spalte von ${}M$ ist und

${\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{s}\longrightarrow {\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{r},\,(y_{1},\ldots ,y_{s})\longmapsto (y^{m_{1}},\ldots ,y^{m_{r}}),$

die zugehörige multiplikative Abbildung. Zeige, dass die transponierte Matrix die natürliche Abbildung zwischen den Fundamentalgruppen beschreibt, dass also

$\mathbb {Z} ^{s}\cong \pi {\left({\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{s},(1,\ldots ,1)\right)}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{r}\cong \pi {\left({\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{r},(1,\ldots ,1)\right)}$

durch ${}{M^{\text{tr}}}$ gegeben ist.

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