Z/Binäre quadratische Form/Äquivalenz/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Diese beiden Aussagen folgen daraus, dass das Produkt invertierbarer Matrizen (über $\mathbb{Z}$) wieder invertierbar ist und aus dem Determinantenmultiplikationssatz.
2. Wir arbeiten mit der Umrechnungsregel für die Koeffizienten in Matrixform, also

   $\left(\begin{array}{cc}{a}^{\prime }& \frac{1}{2}{b}^{\prime }\\ \frac{1}{2}{b}^{\prime }& c^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}r& t\\ s& u\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& \frac{1}{2}b\\ \frac{1}{2}b& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}r& s\\ t& u\end{array}\right)$

   Der Determinantenmultiplikationssatz liefert

   $\begin{array}{cc}\mathrm{diskr}(F^{\prime })& =-4\cdot det\left(\begin{array}{cc}{b}^{\prime }& 2c^{\prime }\\ 2a^{\prime }& b^{\prime }\end{array}\right)\\ & =-4\cdot (\pm 1)det\left(\begin{array}{cc}b& 2c\\ 2a& b\end{array}\right)(\pm 1)\\ & =-4\cdot det\left(\begin{array}{cc}b& 2c\\ 2a& b\end{array}\right)\\ & =\mathrm{diskr}(F).\end{array}$

3. Dies folgt unmittelbar aus dem kommutativen Diagramm

   $\begin{array}{cccc}{\mathbb{Z}}^2& \stackrel{M}{⟶}& {\mathbb{Z}}^2& \\ & F^{\prime }\searrow & \downarrow F& \\ & & \mathbb{Z}& .\end{array}$

Zur bewiesenen Aussage