Z/Endliche Teilmengen/Halbringeigenschaften/Aufgabe/Lösung

Es ist
${- 2, 3, 7} + {1, 5} = {- 1, 3, 4, 8, 12} .$
Bei $A = B = {0, 1}$ ist
$A B = {0, 1} .$

Bei $A = {0, 1}$ und $B = {1, 2}$ ist

$A B = {0, 1, 2} .$

Bei $A = {1, 2}$ und $B = {2, 3}$ ist

$A B = {2, 3, 4, 6} .$
Die beiden Verknüpfungen sind offenbar kommutativ. Für drei Mengen $A = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{r}}$ , $B = {b_{1}, b_{2}, \dots, b_{s}}$ und $C = {c_{1}, c_{2}, \dots, c_{t}}$ ist
$\begin{matrix} ({a_{1}, a_{2}, \dots, a_{r}} + {b_{1}, b_{2}, \dots, b_{s}}) + {c_{1}, c_{2}, \dots, c_{t}} & = {a_{i} + b_{j} ∣ 1 \leq i \leq r, 1 \leq j \leq s} + {c_{1}, c_{2}, \dots, c_{t}} \\ = {a_{i} + b_{j} + c_{k} ∣ 1 \leq i \leq r, 1 \leq j \leq s, 1 \leq k \leq t} \end{matrix}$ und das gleiche Ergebnis erhält man bei der anderen Klammerung. Somit ist die Addition assoziativ. Das gleiche Argument zeigt, dass auch die Multiplikation assoziativ ist. Wegen

${0} + {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{r}} = {0 + a_{1}, 0 + a_{2}, \dots, 0 + a_{r}} = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{r}}$

ist ${0}$ das neutrale Element der Addition. Wegen

${1} \cdot {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{r}} = {1 \cdot a_{1}, 1 \cdot a_{2}, \dots, 1 \cdot a_{r}} = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{r}}$

ist ${1}$ das neutrale Element der Multiplikation. Das Distributivgesetz gilt hingegen nicht, beispielsweise ist für $A = {a}$ , $B = {b}$ und $C = {c, d}$ einerseits

$(A + B) \cdot C = {a + b} \cdot {c, d} = {a c + b c, a d + b d}$

und andererseits

$A \cdot C + B \cdot D = {a c, a d} + {b c, b d} = {a c + b c, a c + b d, a d + b c, a d + b d},$

also (bei so ziemlich jeder Wahl der Elemente) verschieden.
Die einzige zusätzliche zu betrachtende Eigenschaft bei einem Ring ist, ob jedes Element ein Negatives besitzt. Dies ist nicht der Fall, da beispielsweise jede zweielementige Menge ${a, b}$ die Eigenschaft besitzt, dass jede Addition ${a, b} + M$ eine zumindest zweielementige Menge ist und damit nicht das neutrale Element ${0}$ sein kann.
Es gilt
${(A + B)}^{2} \subseteq A^{2} + 2 A B + B^{2} .$

Ein Element aus

${(A + B)}^{2} = (A + B) (A + B)$

hat die Form

$(a + b) (a^{'} + b^{'}) = a a^{'} + a b^{'} + a^{'} b + b b^{'}$

mit $a, a^{'} \in A$ und $b, b^{'} \in B$ . Ein solches Element gehört zu

$A^{2} + A B + A B + B^{2} .$
Im Allgemeinen gilt nicht
${(A + B)}^{2} \supseteq A^{2} + 2 A B + B^{2} .$

Es sei dazu $A = {a}$ und $B = {b, c}$ . Dann ist

$\begin{matrix} (A + B)^{2} & = {(a + b) (a + b), (a + b) (a + c), (a + c) (a + c)} \\ = {a^{2} + 2 a b + b^{2}, a^{2} + a b + a c + b c, a^{2} + 2 a c + c^{2}}, \end{matrix}$

aber $A^{2} + 2 A B + B^{2}$ enthält auch das Element $a^{2} + 2 a b + b c$ .

Zur gelösten Aufgabe