Z/Endliche Teilmengen/Halbringeigenschaften/Aufgabe

Es sei ${}R$ die Menge aller nichtleeren endlichen Teilmengen von ${}\mathbb {Z}$, die Elemente aus ${}R$ sind also Mengen der Form ${}\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r}\}$ mit ${}a_{i}\in \mathbb {Z}$. Wir definieren auf ${}R$ zwei Verknüpfungen, nämlich die Addition

${}\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r}\}+\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s}\}:={\left\{a_{i}+b_{j}\mid 1\leq i\leq r,\,1\leq j\leq s\right\}}\,$

und die Multiplikation

${}\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r}\}\cdot \{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s}\}:={\left\{a_{i}\cdot b_{j}\mid 1\leq i\leq r,\,1\leq j\leq s\right\}}\,.$

1. Berechne

   $\{-2,3,7\}+\{1,5\}$

2. Man gebe Beispiele für jeweils zweielementige Mengen ${}A,B\in R$ derart, dass das Produkt ${}AB$ einmal ${}2$, einmal ${}3$ und einmal ${}4$ Elemente besitzt.
3. Welche Eigenschaften eines kommutativen Halbringes erfüllt ${}M$?
4. Welche Eigenschaften eines kommutativen Ringes erfüllt ${}M$?
5. Gilt

   ${}{\left(A+B\right)}^{2}\subseteq A^{2}+2AB+B^{2}\,?$

6. Gilt

   ${}{\left(A+B\right)}^{2}\supseteq A^{2}+2AB+B^{2}\,?$

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen