Z/Kubisches Polynom/Generisch normal/Explizit/Beispiel

Wir betrachten das kubische Polynom ${}X^{3}-3X+1\in \mathbb {Q} [X]$, das nach Aufgabe irreduzibel ist, und ${}R=\mathbb {Z} [X]/(X^{3}-3X+1)$. Die Ableitung des Polynoms ist ${}3X^{2}-3$, und in ${}\mathbb {Z} [X]$ gilt die Gleichung

${}(6X+3)(X^{3}-3X+1)+(-2X^{2}-X+4)(3X^{2}-3)=-9\,.$

Nach dem Beweis zu Fakt ist daher ${}\mathbb {Z} _{(p)}[X]/(X^{3}-3X+1)$ für jede Primzahl ${}p\neq 3$ normal. Über ${}p=3$ ist der Faserring gleich

${}\mathbb {Z} /(3)[X]/(X^{3}-3X+1)=\mathbb {Z} /(3)[X]/(X^{3}+1)=\mathbb {Z} /(3)[X]/(X+1)^{3}\,.$

Dies bedeutet, dass das einzige maximale Ideal in ${}\mathbb {Z} _{(3)}[X]/(X^{3}-3X+1)$ gleich ${}(3,X+1)$ ist. Wegen

${}\mathbb {Z} _{(3)}[X]/(X^{3}-3X+1,X+1)=\mathbb {Z} _{(3)}/((-1)^{3}-3(-1)+1)=\mathbb {Z} /(3)\,$

ist aber ${}X+1$ ein Erzeuger von diesem maximalen Ideal und daher ist ${}R$ überhaupt normal.