Z/Kubisches Polynom/Generisch normal/Explizit/Beispiel

Wir betrachten das kubische Polynom  $X^3-3X+1\in \mathbb{Q}[X]$,  das nach Aufgabe irreduzibel ist, und  $R=\mathbb{Z}[X]/(X^3-3X+1)$.  Die Ableitung des Polynoms ist $3X^2-3$, und in $\mathbb{Z}[X]$ gilt die Gleichung

$(6X+3)(X^3-3X+1)+(-2X^2-X+4)(3X^2-3)=-9.$

Nach dem Beweis zu Fakt ist daher $\mathbb{Z}/(p)[X]/(X^3-3X+1)$ für jede Primzahl  $p\ne 3$  normal. Über  $p=3$  ist der Faserring gleich

$\mathbb{Z}/(3)[X]/(X^3-3X+1)=\mathbb{Z}/(3)[X]/(X^3+1)=\mathbb{Z}/(3)[X]/{(X+1)}^3.$

Dies bedeutet, dass das einzige maximale Ideal in ${\mathbb{Z}}_{(3)}[X]/(X^3-3X+1)$ gleich $(3,X+1)$ ist. Wegen

${\mathbb{Z}}_{(3)}[X]/(X^3-3X+1,X+1)={\mathbb{Z}}_{(3)}/((-1{)}^3-3(-1)+1)=\mathbb{Z}/(3)$

ist aber $X+1$ ein Erzeuger von diesem maximalen Ideal und daher ist $R$ überhaupt normal.