Z/Lokalisiert/Diskreter Bewertungsring/Beispiel

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei ${}R=\mathbb {Z} _{(p)}$ die Lokalisierung am maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(p)$. Dann ist ${}R$ ein diskreter Bewertungsring. Die beiden einzigen Primideale von ${}R$ sind ${}(0)\subset (p)$, und ein Hauptidealbereich liegt vor, da ja ${}\mathbb {Z}$ ein Hauptidealbereich ist. Da es nur ein maximales Ideal gibt, kann es bis auf Assoziiertheit auch nur ein Primelement geben, nämlich ${}p$.