Z/Lokalisiert/Diskreter Bewertungsring/Beispiel

Es sei $p$ eine Primzahl und sei  $R={\mathbb{Z}}_{(p)}$  die Lokalisierung am maximalen Ideal  $𝔪=(p)$.  Dann ist $R$ ein diskreter Bewertungsring. Die beiden einzigen Primideale von $R$ sind  $(0)\subset (p)$,  und ein Hauptidealbereich liegt vor, da ja $\mathbb{Z}$ ein Hauptidealbereich ist. Da es nur ein maximales Ideal gibt, kann es bis auf Assoziiertheit auch nur ein Primelement geben, nämlich $p$.