Z/Lokalisiert in Q/Diskreter Bewertungsring/Beispiel

Es sei $p$ eine Primzahl und sei

$R={\mathbb{Z}}_{(p)}=\{q\in \mathbb{Q}\mid \text{ in der gekürzten Darstellung von }q\text{ ist der Nenner kein Vielfaches von }p\}$

die sogenannte Lokalisierung am maximalen Ideal  $𝔪=(p)$.  Dann ist $R$ ein diskreter Bewertungsring. $R$ ist ein Hauptidealbereich, da ja $\mathbb{Z}$ ein Hauptidealbereich ist. Die Ideale von $R$ sind das Nullideal und die Ideale $\left(p^n\right)$ mit  $n\in \mathbb{N}$.  Die beiden einzigen Primideale von $R$ sind  $(0)\subset (p)$,  und Da es nur ein maximales Ideal gibt, kann es bis auf Assoziiertheit auch nur ein Primelement geben, nämlich $p$.