Z/Primzahl/Komplettierung/Beispiel

Es sei ${}p$ ein Primzahl. Die Idealkette

${}(p)\supset (p^{2})\supset (p^{3})\supset \,$

liefert die Restklassenhomomorphismen

$\longrightarrow \mathbb {Z} /(p^{3})\longrightarrow \mathbb {Z} /(p^{2})\longrightarrow \mathbb {Z} /(p)\longrightarrow 0$

und somit die Komplettierung ${}{\widehat {\mathbb {Z} ,(p)}}={\hat {\mathbb {Z} _{(p)}}}$. Jede ganze Zahl ${}a$ liefert darin eine Folge

$([a]_{1},[a]_{2},[a]_{3},\ldots ),$

wobei ${}[a]_{n}$ die Restklasse von ${}a$ in ${}\mathbb {Z} /(p^{n})$ bezeichnet. Wenn man jeweils mit dem kanonischen Vertreter von ${}[a]_{n}$, also dem zwischen ${}0$ und ${}p^{n}-1$ arbeitet, so sieht die Folge typischerweise so aus

$([a]_{1},[a]_{2},[a]_{3},\ldots ,[a]_{n-1},a,a,a,a,a,\ldots ),$

da ja iregendwann

${}a<p^{n}\,$

ist und somit ${}a$ der kanonische Vertreter selbst ist. Die ganzen Zahlen finden sich also in der Komplettierung in einer ziemlich banalen Weise wieder. Ein wichtiger Punkt ist aber, dass in der Komplettierung zusätzliche Elemente auftreten, die zu diesen banalen Elementen in einer neuen nichttrivialen Beziehung stehen. Es sei beispielsweise ${}p=7$. Die Zahl ${}2$ ist in ${}\mathbb {Z}$ keine Einheit. Dagegen ist sie für jeden Exponenten ${}n$ in ${}\mathbb {Z} /(7^{n})$ eine Einheit, da ja ${}2$ und ${}7^{n}$ teilerfremd sind. Es sei nun ${}u_{n}$ das (eindeutig bestimmte) inverse Element zur ${}2$ in ${}\mathbb {Z} /(7^{n})$, also

${}u=(4,25,172,\ldots )\,$

(in diesem Beispiel gibt es eine einfache Formel). Da unter den Projektionen ${}\mathbb {Z} /(7^{n+1})\rightarrow \mathbb {Z} /(7^{n})$ inverse Elemente auf inverse Elemente abgebildet werden, ist diese Folge kompatibel und definiert somit ein Element in der Komplettierung. Dabei ist

${}2\cdot u=1\,,$

da dies unter jeder Projektion gilt.