Z/Restklassenring nach Primelementpotenz/Ist zusammenhängend/Aufgabe/Lösung

Es sei $e \in ℤ / (p^{n})$ ein idempotentes Element. Dies bedeutet

e^{2} = e

und somit ist $e (e - 1)$ ein Vielfaches von $p^{n}$ , sagen wir

e (e - 1) = a p^{n} .

Nehmen wir $e \neq 0, 1$ an. Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung in $ℤ$ ist

e = b p^{i}

und

e - 1 = c p^{j}

mit

i + j = n .

Wären $i, j \geq 1$ , so wäre sowohl $e$ als auch $e - 1$ ein Vielfaches von $p$ , und das würde dann auch für $1 = e - (e - 1)$ gelten, was nicht der Fall ist. Also ist $i = n$ oder $j = n$ , was $e = 0$ oder $e - 1 = 0$

im Restklassenring

ℤ / (p^{n})

bedeutet.

Zur gelösten Aufgabe