Z und Z mod d/Teilmenge kein Homomorphismus/2/Aufgabe/Kommentar

Wir wissen bereits, dass die Addition in der Restklassengruppe ${}\mathbb {Z} /(d)$ die Addition modulo ${}d$ ist. Also gilt beispielsweise ${}{\bar {1}}+{\overline {d-1}}={\bar {d}}={\bar {0}},\ {\bar {2}}+{\overline {d-1}}={\overline {d+1}}={\bar {1}},$ usw. In ${}\mathbb {Z}$ sind ${}0$ und ${}d$ aber unterschiedlich. Es folgt

$\psi ({\bar {1}})+\psi ({\overline {d-1}})=1+d-1=d\neq 0=\psi ({\bar {0}}),$

also ${}\psi ({\bar {1}})+\psi ({\overline {d-1}})\neq \psi ({\bar {1}}+{\overline {d-1}})$. Somit ist ${}\psi$ kein Gruppenhomomorphismus.

Ähnlich wie in Aufgabe und Aufgabe

kann man auch zeigen, dass es außer der trivialen Abbildung keinen weiteren Gruppenhomomorphismus von ${}\mathbb {Z} /(d)$ nach ${}\mathbb {Z}$ gibt.

Zur kommentierten Aufgabe