Es seien
verschiedene quadratfreie Zahlen, sei
-
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} \subset L=\mathbb {Q} [{\sqrt {a}},{\sqrt {b}}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1305043a151c5d9d2b898e5e36c828baac096a4)
die zugehörige
Körpererweiterung
vom Grad
und sei
-
![{\displaystyle {}T=\mathbb {Z} [{\sqrt {a}},{\sqrt {b}}]\subseteq S\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/238ece5b18fedc8039a594e7f935e04a6d87541a)
der
Ganzheitsring
von
in
, wobei für dieses Beispiel der Unterschied zwischen
und
irrelevant ist. Wir bestimmen die Faser über einem Primideal zu einer Primzahl
. Der beschreibende Ring ist
-
![{\displaystyle {}T\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(p)=\mathbb {Z} [X,Y]/(X^{2}-a,Y^{2}-b)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(p)=\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/(X^{2}-a,Y^{2}-b)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c420b3007f76a5ac705e8feb70b88e8e19aa9574)
Wir beschränken uns auf Primzahlen
, die weder
noch
teilen, was bedeutet, dass die zugehörigen Restklassen Einheiten in
sind. Wenn
(entsprechend für
)
ein Quadrat in
ist, sagen wir
-

so ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/(X^{2}-a,Y^{2}-b)&=\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/((X-r)(X+r),Y^{2}-b)\\&=(\mathbb {Z} /(p)[Y]/(Y^{2}-b))[X]/((X-r)(X+r))\\&=(\mathbb {Z} /(p)[Y]/(Y^{2}-b))\times (\mathbb {Z} /(p)[Y]/(Y^{2}-b)),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b8ec5bef6cc86832a3c85ba6f72b531924148be)
wobei die letzte Identifizierung durch
gegeben ist. Der Faserring ist also ein Produktring und kein Körper und
zerfällt in
und dann auch in
in zumindest zwei Primideale.
Wenn hingegen sowohl
als auch
Nichtquadrate in
sind, so ist das Produkt
ein Quadrat, sagen wir
.
Dann gelten, da ja
eine Einheit ist, in
die Idealgleichheiten

und damit ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/(X^{2}-a,Y^{2}-b)&=\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/(X^{2}-a,(XY-s)(XY-s))\\&=(\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{2}-a))[Y]/(XY-s)(XY-s)\\&=(\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{2}-a))[Y]/{\left(Y-{\frac {s}{X}}\right)}{\left(Y-{\frac {s}{X}}\right)}\\&=(\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{2}-a))\times (\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{2}-a)),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baa3bbfa8e3dc1affac60f1253a75fc9445970e1)
es liegt also wieder ein Produktring vor.