Zahlbereich/Biquadratisch/Unzerlegt/Beispiel

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Es seien verschiedene quadratfreie Zahlen, sei

die zugehörige Körpererweiterung vom Grad und sei

der Ganzheitsring von in , wobei für dieses Beispiel der Unterschied zwischen und irrelevant ist. Wir bestimmen die Faser über einem Primideal zu einer Primzahl . Der beschreibende Ring ist

Wir beschränken uns auf Primzahlen , die weder noch teilen, was bedeutet, dass die zugehörigen Restklassen Einheiten in sind. Wenn (entsprechend für ) ein Quadrat in ist, sagen wir

so ist

wobei die letzte Identifizierung durch gegeben ist. Der Faserring ist also ein Produktring und kein Körper und zerfällt in und dann auch in in zumindest zwei Primideale.

Wenn hingegen sowohl als auch Nichtquadrate in sind, so ist das Produkt ein Quadrat, sagen wir . Dann gelten, da ja eine Einheit ist, in die Idealgleichheiten

und damit ist

es liegt also wieder ein Produktring vor.