Zahlbereich/Biquadratisch/Unzerlegt/Beispiel

Es seien ${}a,b\in \mathbb {Z}$ verschiedene quadratfreie Zahlen, sei

{}\mathbb {Q} \subset L=\mathbb {Q} [{\sqrt {a}},{\sqrt {b}}]\,

die zugehörige Körpererweiterung vom Grad ${}4$ und sei

{}T=\mathbb {Z} [{\sqrt {a}},{\sqrt {b}}]\subseteq S\,

der Ganzheitsring von ${}\mathbb {Z}$ in ${}L$ , wobei für dieses Beispiel der Unterschied zwischen ${}T$ und ${}S$ irrelevant ist. Wir bestimmen die Faser über einem Primideal zu einer Primzahl ${}p$ . Der beschreibende Ring ist

{}T\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(p)=\mathbb {Z} [X,Y]/(X^{2}-a,Y^{2}-b)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(p)=\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/(X^{2}-a,Y^{2}-b)\,.

Wir beschränken uns auf Primzahlen ${}\geq 3$ , die weder ${}a$ noch ${}b$ teilen, was bedeutet, dass die zugehörigen Restklassen Einheiten in ${}\mathbb {Z} /(p)$ sind. Wenn ${}a$ (entsprechend für ${}b$ ) ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$ ist, sagen wir

{}a=r^{2}=(-r)^{2}\,,

so ist

{}{\begin{aligned}\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/(X^{2}-a,Y^{2}-b)&=\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/((X-r)(X+r),Y^{2}-b)\\&=(\mathbb {Z} /(p)[Y]/(Y^{2}-b))[X]/((X-r)(X+r))\\&=(\mathbb {Z} /(p)[Y]/(Y^{2}-b))\times (\mathbb {Z} /(p)[Y]/(Y^{2}-b)),\end{aligned}}

wobei die letzte Identifizierung durch ${}X\mapsto (r,-r)$ gegeben ist. Der Faserring ist also ein Produktring und kein Körper und ${}(p)$ zerfällt in ${}T$ und dann auch in ${}S$ in zumindest zwei Primideale.

Wenn hingegen sowohl ${}a$ als auch ${}b$ Nichtquadrate in ${}\mathbb {Z} /(p)$ sind, so ist das Produkt ${}ab$ ein Quadrat, sagen wir ${}ab=s^{2}=(-s)^{2}$ . Dann gelten, da ja ${}a$ eine Einheit ist, in ${}\mathbb {Z} /(p)[X,Y]$ die Idealgleichheiten