Zahlbereich/Dritte Wurzel 2/Faser/Nicht homogen/Beispiel

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Wir betrachten die Körpererweiterung

Der Ganzheitsring ist

nach Fakt. Das ist keine Galoiserweiterung, da das Polynom über (und reell) nicht zerfällt. Oberhalb von liegt das einzige Primideal . Für eine ungerade Primzahl mit sind und teilerfremd und daher ist die dritte Potenz

eine Bijektion. Insbesondere besitzt die eine eindeutig bestimmte dritte Wurzel und es gibt eine Faktorzerlegung

in , wobei der hintere Faktor irreduzibel ist. Deshalb liegen über in der Erweiterung zwei Primideale, wobei deren Restekörper einerseits und andererseits ist. Inssbesondere sind diese nicht zueinander isomorph. Bei ist beispielsweise

und

und somit

Bei

ist ein Teiler von und daher gibt es drei dritte Einheitswurzeln in . Wenn die in eine dritte Wurzel besitzt, so besitzt sie sogar drei dritte Wurzeln und die Faser zerfällt in drei Punkte, deren Restekörper sind. Wenn die in keine dritte Wurzel besitzt, so besteht die Faser aus einem einzigen Punkt, dessen Restekörper der Körper mit Elementen ist.

Sei . Dritte Einheitswurzeln sind . Die andere dritte Potenz ist

D.h. ist keine dritte Potenz und ist ein Körper mit Elementen.

Sei . Die dritten Einheitswurzeln sind . Die weiteren dritten Potenzen sind , die ist also wieder keine dritte Potenz.

Sei . Die dritten Einheitswurzeln sind . Die weiteren dritten Potenzen sind , die ist also wieder keine dritte Potenz.

Sei . Die dritten Einheitswurzeln sind .

Hier ist

D.h. es ist

die Faser besteht also aus drei Punkten, die alle den Restekörper besitzen.