Zahlbereich/Gebrochenes Ideal/Beschreibung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zunächst ${}{\mathfrak {f}}$ ein gebrochenes Ideal. Dann ist

${}{\mathfrak {f}}=R{\left({\frac {a_{1}}{r_{1}}},\ldots ,{\frac {a_{n}}{r_{n}}}\right)}\,.$

Nach Übergang zu einem Hauptnenner kann man annehmen, dass  ${}r=r_{1}=\ldots =r_{n}$  ist. Dann hat man mit dem Ideal  ${}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})$  eine Beschreibung der gewünschten Art. Ist umgekehrt  ${}{\mathfrak {f}}={\frac {\mathfrak {a}}{r}}$,  so ist dies natürlich ein endlich erzeugter ${}R$-Untermodul von ${}Q(R)$.

Zur bewiesenen Aussage