Zahlbereich/Gleichung/Potenz/Modulo p/Irreduzibel/Zyklischer Erzeuger/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}d$ der Grad der zugrunde liegenden Körpererweiterung. Somit ist  ${}L={\mathbb {F} }_{p^{d}}$  und  ${}L^{\times }\cong \mathbb {Z} /(p^{d}-1)$.  Nach Voraussetzung sind ${}n$ und ${}p^{d}-1$ nicht teilerfremd, sei  ${}m\geq 2$  ein gemeinsamer Teiler. Würde ${}X$ in ${}R$ eine ${}n$-te Wurzel besitzen, so gelte  ${}X=Z^{n}$  und insbesondere  ${}X=Y^{m}$.  Dies würde auch in ${}L$ gelten und dann wäre dort

${}X^{\frac {p^{d}-1}{m}}=Y^{p^{d}-1}=1\,,$

und ${}X$ ist kein Erzeuger.

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