Zahlbereich/Grad/Rang der Einheitengruppe/Abschätzungen/Aufgabe

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}d$ und sei ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Zeige, dass für Rang der Einheitengruppe ${}R^{\times }$ die Abschätzungen

${}\operatorname {rang} \,R^{\times }\leq d-1\,$

und

${}\operatorname {rang} \,R^{\times }\geq {\begin{cases}{\frac {d}{2}}-1,{\text{ bei }}d{\text{ gerade}},\\{\frac {d-1}{2}},{\text{ bei }}d{\text{ ungerade}},\end{cases}}\,$

gelten.

Eine Lösung erstellen