Es sei p ≠ 0 {\displaystyle {}{\mathfrak {p}}\neq 0} ein Primideal in R {\displaystyle {}R} und f ∉ p {\displaystyle {}f\notin {\mathfrak {p}}} . Dann ist f {\displaystyle {}f} in R p {\displaystyle {}R_{\mathfrak {p}}} eine Einheit. Damit ist ord p ( f ) = 0 {\displaystyle {}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)=0} . Da der Restklassenring R / ( f ) {\displaystyle {}R/(f)} nach Fakt endlich ist, folgt sofort, dass f {\displaystyle {}f} nur in endlich vielen Primidealen enthalten ist, und nur für diese ist ord p ( f ) > 0 {\displaystyle {}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)>0} .
