Zahlbereich/Ideal/Restklassenring/Endlich/Fakt/Beweis2

Beweis

Als kommutative Gruppe ist ${}R=\mathbb {Z} ^{n}$. Sei ${}a\in {\mathfrak {a}}$, ${}a\neq 0$. Dann ist das von ${}a$ erzeugte Hauptideal eine Untergruppe

${}aR\cong \mathbb {Z} ^{n}\subseteq R\cong \mathbb {Z} ^{n}\,.$

Deshalb ist die Restklassengruppe ${}\mathbb {Z} ^{n}/aR$ endlich und wegen der natürlichen Surjektion ${}\mathbb {Z} ^{n}/aR\rightarrow R/{\mathfrak {a}}$ ist auch der Restklassenring endlich.

Zur bewiesenen Aussage