Zahlbereich/Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt/Beweis2

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Wir starten mit einem Ideal und vergleichen und . Sei zunächst . Es ist dann für jedes Primideal , so dass natürlich gilt. Also ist . Ist hingegen , so gibt es nach Aufgabe auch ein Primideal mit . Da ein diskreter Bewertungsring ist, gilt . Also ist und somit .

Wir starten nun mit einem effektiven Divisor und vergleichen mit . Die Abschätzung ist trivial. Für die andere Richtung fixieren wir ein Primideal und bezeichnen mit die Ordnung von an dieser Primstelle. Wir haben ein zu finden, das an der Stelle die Ordnung besitzt. Es sei ein Element in derart, dass in das maximale Ideal erzeugt. Es seien alle Primideale , an denen von verschieden ist. Da alle von verschiedenen Primideale in maximal sind, gibt es zu jedem ein mit und . Dann hat, für hinreichend große , das Element

einerseits die Eigenschaft , also , und andererseits die Eigenschaft wie gewünscht, da die in die Ordnung null haben.

Der Zusatz folgt aus Fakt.