Zahlbereich/Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt/Beweis2

Beweis

Wir starten mit einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ und vergleichen ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}\operatorname {Id} (\operatorname {div} ({\mathfrak {a}}))$. Es ei zunächst ${}f\in {\mathfrak {a}}$. Es ist dann ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(f)\geq \operatorname {min} {\left\{\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(g)\mid g\in {\mathfrak {a}}\right\}}$ für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$, sodass natürlich ${}\operatorname {div} (f)\geq \operatorname {div} ({\mathfrak {a}})$ gilt. Also ist ${}f\in \operatorname {Id} (\operatorname {div} ({\mathfrak {a}}))$. Ist hingegen ${}f\notin {\mathfrak {a}}$, so gibt es nach Aufgabe auch ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ mit ${}f\notin {\mathfrak {a}}R_{\mathfrak {p}}$. Da ${}R_{\mathfrak {p}}$ ein diskreter Bewertungsring ist, gilt ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(f)<\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}({\mathfrak {a}})$. Also ist ${}\operatorname {div} (f)\not \geq \operatorname {div} ({\mathfrak {a}})$ und somit ${}f\notin \operatorname {Id} (\operatorname {div} ({\mathfrak {a}}))$.

Wir starten nun mit einem effektiven Divisor ${}D$ und vergleichen ${}D$ mit ${}\operatorname {div} (\operatorname {Id} (D))$. Die Abschätzung ${}D\leq \operatorname {div} (\operatorname {Id} (D))$ ist trivial. Für die andere Richtung fixieren wir ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ und bezeichnen mit ${}n_{\mathfrak {p}}$ die Ordnung von ${}D$ an dieser Primstelle. Wir haben ein ${}f\in \operatorname {Id} (D)$ zu finden, das an der Stelle ${}{\mathfrak {p}}$ die Ordnung ${}n_{\mathfrak {p}}$ besitzt. Es sei ${}p\in {\mathfrak {p}}$ ein Element in ${}R$ derart, dass ${}p$ in ${}R_{\mathfrak {p}}$ das maximale Ideal erzeugt. Es seien ${}{\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}$ alle Primideale ${}\neq {\mathfrak {p}}$, an denen ${}D$ von ${}0$ verschieden ist. Da alle von ${}0$ verschiedenen Primideale in ${}R$ maximal sind, gibt es zu jedem ${}{\mathfrak {q}}_{i}$ ein ${}h_{i}$ mit ${}h_{i}\in {\mathfrak {q}}_{i}$ und ${}h_{i}\notin {\mathfrak {p}}$. Dann hat, für hinreichend große ${}\nu _{i}$, das Element

${}f=p^{n_{\mathfrak {p}}}\prod _{i=1}^{k}h_{i}^{\nu _{i}}\,$

einerseits die Eigenschaft ${}\operatorname {div} (f)\geq D$, also ${}f\in \operatorname {Id} (D)$, und andererseits die Eigenschaft ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(f)=\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(p^{n_{\mathfrak {p}}})=n_{\mathfrak {p}}$ wie gewünscht, da die ${}h_{i}$ in ${}{\mathfrak {p}}$ die Ordnung null haben.

Der Zusatz folgt aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage