Zahlbereich/Ideale und Divisoren/Divisor zu Ideal/Bemerkung

Man kann den Divisor zu einem Ideal auch durch

${}\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})=\operatorname {min} {\left\{\operatorname {div} {\left(f\right)}\mid f\in {\mathfrak {a}},\,f\neq 0\right\}}\,$

definieren, wobei das Minimum über Divisoren komponentenweise erklärt ist. Es gibt im Allgemeinen kein Element, das an allen Primstellen simultan das Minimum annimmt. Da zu einem einzelnen Element ${}0\neq f\in {\mathfrak {a}}$ der zugehörige Hauptdivisor nur an endlich vielen Stellen von ${}0$ verschieden ist, gilt das erst recht für den Divisor zu einem Ideal.

Die Ordnung ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,({\mathfrak {a}})$ kann man auch als Ordnung des Ideals ${}\operatorname {ord} ({\mathfrak {a}}R_{\mathfrak {p}})$ im diskreten Bewertungsring ${}R_{\mathfrak {p}}$ ansehen. Dabei ist ${}{\mathfrak {a}}R_{\mathfrak {p}}$ das Erweiterungsideal zu ${}{\mathfrak {a}}$ in ${}R_{\mathfrak {p}}$. Dieses Ideal hat einen Erzeuger ${}p^{k}$, wobei ${}p$ ein Primelement im diskreten Bewertungsring ist; die Ordnung ist dann ${}k$.