Zahlbereich/Ideale und Divisoren/Umfassen und teilen/Fakt/Beweis

Beweis

Die Implikation „${}\Leftarrow$“ gilt in beliebigen kommutativen Ringen. Die andere Implikation ist richtig, wenn ${}{\mathfrak {a}}=0$ ist. Wir können also annehmen, dass die beteiligten Ideale von ${}0$ verschieden sind. Die Bedingung impliziert nach Fakt  (3), dass ${}\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})\geq \operatorname {div} ({\mathfrak {b}})$ ist. Somit ist

${}\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})=\operatorname {div} ({\mathfrak {b}})+E\,$

mit einem effektiven Divisor ${}E$. Nach Fakt übersetzt sich dies zurück zu ${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {b}}\cdot \operatorname {Id} (E)$, sodass mit ${}{\mathfrak {c}}=\operatorname {Id} (E)$ die rechte Seite erfüllt ist.

Zur bewiesenen Aussage