Zahlbereich/Logarithmische Gesamteinbettung/Rein reell und imaginär-quadratische Erweiterung/Aufgabe

Es sei  $\mathbb{Q}\subseteq K$  eine endliche Körpererweiterung mit ausschließlich reellen Einbettungen. Es sei  $K\subseteq L$  eine quadratische Körpererweiterung und $L$ besitze keine reelle Einbettung. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

$\begin{array}{cccccc}{K}^{\times }& \stackrel{{\tau }^{ℝ}}{⟶}& {\left({ℝ}^{\times }\right)}^r& \stackrel{\ln |-|}{⟶}& {ℝ}^r& \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \cdot 2& & \\ L^{\times }& \stackrel{{\tau }^{ℝ}}{⟶}& {\left({ℂ}^{\times }\right)}^r& \stackrel{2\ln |-|}{⟶}& {ℝ}^r& \end{array}$

existiert, wobei die Abbildungen rechts komponentenweise zu verstehen sind und wobei die horizontalen Abbildungen die logarithmischen Gesamtabbildungen sind.

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