Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Beschreibung/Ganzheitsgleichung/Umrechnung/Bemerkung

In der Situation von Fakt mit  $q=\pm 1mod9$  ist der Ring

$A=\mathbb{Z}[Y]/(Y^3-Y^2+\frac{1-q^2}{3}Y-\frac{(q^2-1{)}^2}{27})$

nicht normal. Im Beweis wird nur gezeigt, dass die Lokalisierung an $(3)$ normal ist. Wenn $p$ ein Primteiler $\ne 3$ von $q^2-1$ ist, so wird darüber das Polynom zu $Y^3-Y^2$ und besitzt dort eine nichtreduzierte Faser.

ist

$\begin{array}{cc}{y}^2& =\frac{x^4+q^2{x}^2+1+2q{x}^3+2qx+2x^2}{9}\\ & =\frac{qx+q^2{x}^2+1+2q^2+2qx+2x^2}{9}\\ & =\frac{(q^2+2)x^2+3qx+2q^2+1}{9}.\end{array}$

Daraus kann man

$x=y^2-\frac{(q^2+2)}{3}y$