Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Beschreibung/Fakt

Es seien ${}a$ und ${}b$ teilerfremde quadratfreie natürliche Zahlen, nicht beide ${}1$, und sei  ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-ab^{2})=L$  die zugehörige kubische Körpererweiterung. Wir setzen  ${}x={\sqrt[{3}]{ab^{2}}}$  und  ${}y={\sqrt[{3}]{a^{2}b}}$.  Dann gelten folgende Aussagen.

1. ${}x$ und ${}y$ sind ganze Elemente in ${}L$.
2. Es ist

   $\mathbb {Z} [x,y]\cong \mathbb {Z} [X,Y]/(XY-ab,X^{2}-bY,Y^{2}-aX)=\mathbb {Z} [X,Y]/(X^{3}-ab^{2},Y^{3}-a^{2}b,XY-ab,X^{2}-bY,Y^{2}-aX)=S\,.$

3. Wenn  ${}a\neq \pm b\mod 9$  gilt, so ist ${}S$ der Ganzheitsring von ${}L$, und ${}1,x,y$ bilden eine Ganzheitsbasis.
4. Bei  ${}a=\pm b\mod 9$  gehört auch  ${}z={\frac {1}{3}}{\left(1+ax+by\right)}={\frac {1}{3}}{\left(1+ax+x^{2}\right)}$  zum Ganzheitsring, und ${}x,y,z$ bilden eine Ganzheitsbasis.

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