Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Beschreibung/Fakt

Es seien $a$ und $b$ teilerfremde quadratfreie natürliche Zahlen, nicht beide $1$, und sei  $\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}[X]/(X^3-a{b}^2)=L$  die zugehörige kubische Körpererweiterung. Wir setzen  $x=\sqrt[3]{a{b}^2}$  und  $y=\sqrt[3]{a^{2}b}$.  Dann gelten folgende Aussagen.

1. $x$ und $y$ sind ganze Elemente in $L$.
2. Es ist

   $\mathbb{Z}[x,y]\cong \mathbb{Z}[X,Y]/(XY-ab,X^2-bY,Y^2-aX)=\mathbb{Z}[X,Y]/(X^3-a{b}^2,Y^3-a^{2}b,XY-ab,X^2-bY,Y^2-aX)=S.$

3. Wenn  $a\ne \pm bmod9$  gilt, so ist $S$ der Ganzheitsring von $L$, und $1,x,y$ bilden eine Ganzheitsbasis.
4. Bei  $a=\pm bmod9$  gehört auch  $z=\frac{1}{3}(1+ax+by)=\frac{1}{3}(1+ax+x^2)$  zum Ganzheitsring, und $x,y,z$ bilden eine Ganzheitsbasis.

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