Zahlbereich/X^3-3X+1/Modulo p/Körper/p-te Potenz/Möglichkeiten/Frobenius/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten das Polynom ${}Y^{3}-3Y+1$ im Polynomring ${}\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}[Y]$. Die Restklasse ${}x$ von ${}X$ ist eine Nullstelle von ${}Y^{3}-3Y+1$, und nach Aufgabe sind auch ${}x^{2}-2$ und ${}-x^{2}-x+2$ Nullstellen. Die Faktorzerlegung

${}Y^{3}-3Y+1=(Y-x)(Y-x^{2}+2)(Y+x^{2}+x-2)\,$

gilt auch in ${}\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}[Y]$ und damit auch in jedem Restklassenring. Es sei nun ${}K$ ein Restklassenkörper von ${}\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}$. Da ${}x$ eine Nullstelle von ${}Y^{3}-3Y+1$ ist und der Körper die Charakteristik ${}p$ besitzt, gilt

${}0={\left(x^{3}-3x+1\right)}^{p}=x^{3p}-3x^{p}+1\,,$

d.h. auch ${}x^{p}$ ist eine Nullstelle von ${}Y^{3}-3Y+1$. Somit muss ${}x^{p}$ mit einer der drei Nullstellen übereinstimmen.

Die Aussage gilt bei ${}p=3$

ebenfalls, modulo ${}3$ fallen allerdings die drei Nullstellen zusammen.

Zur gelösten Aufgabe