Zahlbereich/pte Wurzel aus p/Faserringe/Beschreibung/Beispiel

Es sei $p$ eine Primzahl und  $R=\mathbb{Z}[X]/(X^p-p)$.  Für eine Primzahl  $q\ne p$  ist der Faserring über $(q)$ gleich $\mathbb{Z}/(q)[X]/(X^p-p)$. Da $p$ eine Einheit in $\mathbb{Z}/(q)$ ist, sind $X^p-p$ und die Ableitung $p{X}^{p-1}$ teilerfremd in $\mathbb{Z}/(q)[X]$ und daher ist nach Fakt ${\mathbb{Z}}_p[X]/(X^p-p)$ normal und die Verzweigungsordnung von

${\mathbb{Z}}_{(q)}⟶R_{𝔮},$

wobei $𝔮$ ein Primideal oberhalb von $(q)$ bezeichnet, ist gleich $1$. Für  $q=p$  ist das einzige Primideal oberhalb von $(p)$ das Hauptideal $(X)$, die Verzweigungsordnung in $p$ ist gleich $p$. Deshalb ist insgesamt $R$ der Zahlbereich zu  $\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}[X]/(X^p-p)$,  und er ist nur im Punkt $(p)$ verzweigt.