Zahlbereiche/Primfaktorzerlegung/Motivierende Fragen/Bemerkung

1. Wann ist ein Zahlbereich ${}R$ ein Hauptidealbereich und wann ist er faktoriell?
2. Wenn ${}R$ kein Hauptidealbereich ist, gibt es dann andere Versionen, die die eindeutige Primfaktorzerlegung ersetzen (Ja: Lokal und auf Idealebene).
3. Wenn ${}R$ kein Hauptidealbereich ist, kann man dann die Abweichung von der Eigenschaft, ein Hauptidealbereich zu sein, in irgendeiner Form messen? (Ja: Durch die sogenannte Klassengruppe).