Zahlen/1 bis n/Quadratzahlen/Relative Häufigkeit/1/Aufgabe/Lösung

1. Zwischen $1$ und $n$ gibt es $\lfloor \sqrt{n}\rfloor$ Quadratzahlen. Somit ist die Wahrscheinlichkeit gleich

   $p(n)=\frac{\lfloor \sqrt{n}\rfloor }{n}.$

2. Die Folge $p(n)$ ist weder wachsend noch fallend. Wenn $n+1$ keine Quadratzahl ist, so ist

   $\lfloor \sqrt{n+1}\rfloor =\lfloor \sqrt{n}\rfloor$

   und somit ist

   $\begin{array}{cc}p(n+1)& =\frac{\lfloor \sqrt{n+1}\rfloor }{n+1}\\ & =\frac{\lfloor \sqrt{n}\rfloor }{n+1}\\ & <\frac{\lfloor \sqrt{n}\rfloor }{n}\\ & =p(n).\end{array}$

   Wenn hingegen $n+1$ eine Quadratzahl ist, so ist

   $\lfloor \sqrt{n+1}\rfloor =\lfloor \sqrt{n}\rfloor +1$

   und somit ist

   $\begin{array}{cc}p(n+1)& =\frac{\lfloor \sqrt{n+1}\rfloor }{n+1}\\ & =\frac{\lfloor \sqrt{n}\rfloor +1}{n+1}\\ & >\frac{\lfloor \sqrt{n}\rfloor }{n}\\ & =p(n),\end{array}$

   wobei sich die Abschätzung unmittelbar aus

   $n>\lfloor \sqrt{n}\rfloor$

   ergibt.

3. Die Folge konvergiert gegen $0$. Es ist

   $0\le p(n)=\frac{\lfloor \sqrt{n}\rfloor }{n}\le \frac{\sqrt{n}}{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}.$

   Da $\frac{1}{\sqrt{n}}$ eine Nullfolge ist, folgt mit dem Quetschkriterium, dass auch $p(n)$ eine Nullfolge ist.

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