Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

$M=\{n\in \mathbb{N}\mid A(n)\text{ ist wahr}\}.$

Wir wollen zeigen, dass  $M=\mathbb{N}$  ist, denn genau dies bedeutet, dass die Aussage für alle $n$ gilt. Nach der ersten Bedingung ist

$0\in M.$

Nach der zweiten Voraussetzung gilt für $M$, dass aus  $n\in M$  stets  $n+1\in M$  folgt. Damit erfüllt $M$ beide Voraussetzungen im Induktionsprinzip für Mengen, sodass  $M=\mathbb{N}$  gilt.

Zur bewiesenen Aussage