Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen die Existenz durch Induktion über ${}n$.  Für  ${}n=2$  liegt eine Primzahl vor. Bei  ${}n\geq 3$  ist entweder ${}n$ eine Primzahl, und diese bildet die Primfaktorzerlegung, oder aber ${}n$ ist keine Primzahl. In diesem Fall gibt es eine nichttriviale Zerlegung  ${}n=ab$  mit kleineren Zahlen  ${}a,b<n$.  Für diese Zahlen gibt es nach Induktionsvoraussetzung jeweils eine Zerlegung in Primfaktoren, und diese setzen sich zu einer Primfaktorzerlegung für ${}n$ zusammen. 

Zur bewiesenen Aussage