Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Lemma 1/Fakt/Beweis

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Beweis

Der Binomialkoeffizient

wird von allen Primzahlen mit geteilt, da diese den Zähler, aber nicht den Nenner teilen. Aus der allgemeinen Binomischen Formel ergibt sich die Abschätzung

Diese zwei Beobachtungen ergeben zusammen die Abschätzung

Wir wenden auf diese Abschätzung den natürlichen Logarithmus an und erhalten

Geschicktes Aufsummieren ergibt dann

Insbesondere erhält man für Zahlen mit die Abschätzung

Zur bewiesenen Aussage