Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Lemma 1/Fakt/Beweis

Beweis

Der Binomialkoeffizient

${}{\binom {2n}{n}}={\frac {(2n)\cdot (2n-1)\cdots (n+2)\cdot (n+1)}{n\cdot (n-1)\cdots 2\cdot 1}}\,$

wird von allen Primzahlen ${}p$ mit ${}n<p\leq 2n$ geteilt, da diese den Zähler, aber nicht den Nenner teilen. Aus der allgemeinen binomischen Formel ergibt sich die Abschätzung

${}2^{2n}=(1+1)^{2n}=\sum _{k=0}^{2n}{\binom {2n}{k}}>{\binom {2n}{n}}\,.$

Diese beiden Beobachtungen ergeben zusammen die Abschätzung

${}2^{2n}>\prod _{n<p\leq 2n,\,p\in {\mathbb {P} }}p\,.$

Wir wenden auf diese Abschätzung den natürlichen Logarithmus an und erhalten

${}2n\ln(2)>\sum _{n<p\leq 2n,\,p\in {\mathbb {P} }}\ln(p)=\vartheta (2n)-\vartheta (n)\,.$

Geschicktes Aufsummieren ergibt dann

${}{\begin{aligned}\vartheta (2^{r})-\vartheta (1)&=(\vartheta (2)-\vartheta (1))+(\vartheta (4)-\vartheta (2))+\cdots +(\vartheta (2^{r})-\vartheta (2^{r-1}))\\&<2\ln(2)+4\ln(2)+\cdots +2\cdot 2^{r-1}\ln(2)\\&=\sum _{i=0}^{r-1}2\cdot 2^{i}\cdot \ln(2)\\&=2\ln(2)(1+2+4+\cdots +2^{r-1})\\&=2\ln(2)(2^{r}-1)\\&=\ln(2)(2^{r+1}-2).\end{aligned}}$

Insbesondere erhält man für Zahlen ${}x$ mit ${}2^{r-1}<x\leq 2^{r}$ die Abschätzung

${}\vartheta (x)\leq \vartheta (2^{r})<(2^{r+1}-2)\ln(2)<2^{r+1}\ln(2)=(4\ln(2))\cdot 2^{r-1}<(4\ln(2))\cdot x\,.$

Zur bewiesenen Aussage