Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Basis für Ideale/Fakt/Beweis

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Beweis

Seien und wie im Satz beschrieben gewählt. Da und nicht sind folgt, dass und linear unabhängig über sind. Es bleibt also zu zeigen, dass jedes Element sich als mit schreiben lässt. Es gibt eine Darstellung

mit . Dann ist . Die Zahlen und beschreiben beide einen -Koeffizienten von Elementen in , und war betragsmäßig minimal gewählt, so dass ganzzahlig sein muss (alle -Koeffizienten bilden ein Ideal in ). Wir ziehen in der obigen Gleichung ab und erhalten

und dies gehört zu . Also handelt es sich um ein ganzzahliges Vielfaches von und somit ist auch .

Zur bewiesenen Aussage