Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Endlich viele Ideale unterhalb Norm/Fakt/Beweis

Beweis

Es genügt zu zeigen, dass es zu einer natürlichen Zahl ${}n$ nur endlich viele Ideale ${}{\mathfrak {a}}$ in ${}R$ mit ${}N({\mathfrak {a}})=n$ gibt. Es sei also ${}{\mathfrak {a}}$ ein solches Ideal. Dann ist ${}n\in {\mathfrak {a}}$ nach Fakt und damit entspricht ${}{\mathfrak {a}}$ einem Ideal aus ${}R/(n)$. Dieser Ring ist aber nach Fakt endlich und besitzt somit überhaupt nur endlich viele Ideale.

Zur bewiesenen Aussage