Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Faserringe/Bemerkung

Das Verhalten von Primzahlen in einer quadratischen Erweiterung lässt sich aus der oben erzielten Beschreibung mit Gleichungen erhalten.

Generell wird bei ${}R=\mathbb {Z} [X]/(F)$ das Verhalten von ${}p$ in ${}R$ durch ${}(\mathbb {Z} /(p))[X]/({\overline {F}})$ beschrieben, wobei ${}{\overline {F}}$ bedeutet, dass die ganzzahligen Koeffizienten durch ihre Restklasse modulo ${}p$ ersetzt werden. Wir nennen den Ring

${}R/(p)=\mathbb {Z} /(p)[X]/({\overline {F}})=\mathbb {Z} [X](p,F)\,$

den Faserring über ${}p$.

Bei ${}D=2,3\mod 4$ hat man einfach

${}R/(p)=\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{2}-D)\,,$

wobei man ${}D$ durch ${}D\mod p$ ersetzen kann. Die prinzipiellen Möglichkeiten werden in Fakt beschrieben. Ob über ${}p$ ein oder zwei Primideale liegen hängt davon ab, ob ${}D$ ein Quadratrest modulo ${}p$ ist und ob ${}p$ ungerade ist, und ${}p$ ist prim genau dann, wenn ${}D$ kein Quadratrest modulo ${}p$ ist.

Bei ${}D=1\mod 4$ hat man

${}R/(p)=\mathbb {Z} /(p)[\omega ]/{\left(\omega ^{2}-\omega -{\frac {D-1}{4}}\right)}\,.$

Ist ${}p$ ungerade, so ist ${}2$ eine Einheit in ${}\mathbb {Z} /(p)$ und man kann quadratisch ergänzen. Dann ist

${}\omega ^{2}-\omega -{\frac {D-1}{4}}={\left(\omega -{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{4}}-{\frac {D-1}{4}}={\left(\omega -{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {D}{4}}\,.$

Der Faserring hat daher die Form ${}\mathbb {Z} /(p)[Y]/{\left(Y^{2}-{\frac {D}{4}}\right)}$ und nach Multiplikation der Gleichung mit der Einheit ${}4$ kann man dies als ${}\mathbb {Z} /(p)[Z]/(Z^{2}-D)$ schreiben, sodass es wieder darum geht, ob ${}D$ ein Quadratrest modulo ${}p$ ist.

Ist hingegen ${}p=2$, so schreibt sich die Gleichung als ${}\omega ^{2}+\omega +c$, wobei ${}c=1$ ist, wenn ${}D=5\mod 8$ ist, und ${}c=0$, wenn ${}D=1\mod 8$. Im ersten Fall ist die Gleichung irreduzibel über ${}\mathbb {Z} /(2)$ und ${}2$ ist prim in ${}R$, im zweiten Fall ist die Gleichung reduzibel und ${}2$ zerfällt in zwei Primideale.