Das Verhalten von Primzahlen in einer quadratischen Erweiterung lässt sich aus der oben erzielten Beschreibung mit Gleichungen erhalten.
Generell wird bei
das Verhalten von
in
durch
beschrieben, wobei
bedeutet, dass die ganzzahligen Koeffizienten durch ihre Restklasse modulo
ersetzt werden. Wir nennen den Ring
-
![{\displaystyle {}R/(p)=\mathbb {Z} /(p)[X]/({\overline {F}})=\mathbb {Z} [X](p,F)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d33ad78717c6635cc82b2a77875b76ff2028e42c)
den Faserring über
.
Bei
hat man einfach
-
![{\displaystyle {}R/(p)=\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{2}-D)\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b83b958a0e7fc05c6a1755a31e34bcaa44dbcdf1)
wobei man
durch
ersetzen kann. Die prinzipiellen Möglichkeiten werden in
Fakt
beschrieben. Ob über
ein oder zwei Primideale liegen hängt davon ab, ob
ein Quadratrest modulo
ist und ob
ungerade ist, und
ist prim genau dann, wenn
kein Quadratrest modulo
ist.
Bei
hat man
-
![{\displaystyle {}R/(p)=\mathbb {Z} /(p)[\omega ]/{\left(\omega ^{2}-\omega -{\frac {D-1}{4}}\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c03b40fb01b8c42f1c3f13405ce78df731c8d82c)
Ist
ungerade, so ist
eine Einheit in
und man kann quadratisch ergänzen. Dann ist
-

Der Faserring hat daher die Form
und nach Multiplikation der Gleichung mit der Einheit
kann man dies als
schreiben, sodass es wieder darum geht, ob
ein Quadratrest modulo
ist.
Ist hingegen
,
so schreibt sich die Gleichung als
, wobei
ist, wenn
ist, und
,
wenn
.
Im ersten Fall ist die Gleichung irreduzibel über
und
ist prim in
, im zweiten Fall ist die Gleichung reduzibel und
zerfällt in zwei Primideale.