Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Restklassenring/Beschreibung/Fakt/Beweis

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Beweis

Sei ein beliebiges Element in . Durch Addition von Vielfachen von kann man erreichen, dass die zweite Komponente zwischen und liegt. Durch Addition von Vielfachen von kann man dann erreichen, dass auch die erste Komponente zwischen und liegt, ohne die zweite Komponente zu verändern. Es wird also jede Restklasse durch Elemente im angegebenen Bereich repräsentiert.

Seien nun und im angegebenen Bereich und angenommen, dass sie das gleiche Element im Restklassenring repräsentieren. Sei . Dann gehört die Differenz zu und die zweite Komponente liegt zwischen und . Aufgrund der Wahl von muss diese Komponente sein. Dann ist aber ein Vielfaches von und wegen muss sein, so dass also die beiden Elemente übereinstimmen und der Repräsentant eindeutig ist.

Zur bewiesenen Aussage