Beweis
Es sei zunächst
, so dass
nach Fakt
ist und als Primteiler
der Diskriminante
und die Teiler von
in Frage kommen. Es ist
-
![{\displaystyle {}A_{D}/(p)=(\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-D)/(p))=(\mathbb {Z} /(p))[X]/{\left(X^{2}-D\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1be47f2b21a67c205e13abcf43616dbe94c8807)
Bei
steht hier
und dieser Ring hat das einzige Primideal
mit
.
Diesem Primideal entspricht in
das Primideal
.
Es ist
.
Einerseits gilt für
im Faserring modulo
die Beziehung
,
woraus
folgt. Andererseits ist
(in
)
mit
.
Da
quadratfrei ist, ist
teilerfremd zu
und daher kann man mit
schreiben
-
![{\displaystyle {}p=p(ru+sp)=rup+sp^{2}=rX^{2}+sp^{2}\in {\mathfrak {p}}^{2}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2e470581d83531d80c9cc28e47db58395109ad5)
Bei
gilt in
die Beziehung
,
so dass eine analoge Situation vorliegt.
Es sei jetzt
und sei
ein Primteiler von
. Es ist
-
![{\displaystyle {}A_{D}/(p)={\left(\mathbb {Z} [\omega ]/{\left(\omega ^{2}-\omega -{\frac {D-1}{4}}\right)}\right)}/(p)=(\mathbb {Z} /(p))[\omega ]/{\left(\omega ^{2}-\omega -{\frac {D-1}{4}}\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df30a9ee867e0fdbccd51a6d31a98546dda36bc)
Da
ungerade ist, ist
eine Einheit in
, so dass man die Gleichung modulo
als
-
![{\displaystyle {}{\left(\omega -{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{4}}-{\frac {D-1}{4}}={\left(\omega -{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {D}{4}}={\left(\omega -{\frac {1}{2}}\right)}^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/547cea71ead8f302baf65474c33686e4387a1362)
schreiben kann, so dass wieder eine analoge Situation vorliegt.