Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Teiler der Diskriminante/verzweigt/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Sei zunächst , so dass nach Fakt ist und als Primteiler der Diskriminante und die Teiler von in Frage kommen. Es ist

Bei steht hier und dieser Ring hat das einzige Primideal mit . Diesem Primideal entspricht in das Primideal . Es ist . Einerseits gilt für im Faserring modulo die Beziehung , woraus folgt. Andererseits ist (in ) mit . Da quadratfrei ist, ist teilerfremd zu und daher kann man mit schreiben

Bei gilt in die Beziehung , so dass eine analoge Situation vorliegt.

Sei jetzt und sei ein Primteiler von . Es ist

Da ungerade ist, ist eine Einheit in , so dass man die Gleichung modulo als

schreiben kann, so dass wieder eine analoge Situation vorliegt.

Zur bewiesenen Aussage