Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Teiler der Diskriminante/verzweigt/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zunächst ${}D=2,3\mod 4$, sodass ${}\triangle =4D$ nach Fakt ist und als Primteiler ${}p$ der Diskriminante ${}2$ und die Teiler von ${}D$ in Frage kommen. Es ist

${}A_{D}/(p)=(\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-D)/(p))=(\mathbb {Z} /(p))[X]/{\left(X^{2}-D\right)}\,.$

Bei ${}p{|}D$ steht hier ${}(\mathbb {Z} /(p))[X]/(X^{2})$ und dieser Ring hat das einzige Primideal ${}(X)$ mit ${}X^{2}=0$. Diesem Primideal entspricht in ${}A_{D}$ das Primideal ${}{\mathfrak {p}}=(p,X)$. Es ist ${}{\mathfrak {p}}^{2}=(p)$. Einerseits gilt für ${}f\in {\mathfrak {p}}^{2}$ im Faserring modulo ${}p$ die Beziehung ${}f\in (X^{2})=0$, woraus ${}f\in (p)$ folgt. Andererseits ist ${}X^{2}=D=up$ (in ${}A_{D}$) mit ${}u\in \mathbb {Z}$. Da ${}D$ quadratfrei ist, ist ${}u$ teilerfremd zu ${}p$ und daher kann man mit ${}1=ru+sp$ schreiben

${}p=p(ru+sp)=rup+sp^{2}=rX^{2}+sp^{2}\in {\mathfrak {p}}^{2}\,.$

Bei ${}p=2$ gilt in ${}\mathbb {Z} /(2)[X]$ die Beziehung ${}(X-D)^{2}=X^{2}-D^{2}=X^{2}-D$, sodass eine analoge Situation vorliegt.

Es sei jetzt ${}D=1\mod 4$ und sei ${}p$ ein Primteiler von ${}\triangle =D$. Es ist

${}A_{D}/(p)={\left(\mathbb {Z} [\omega ]/{\left(\omega ^{2}-\omega -{\frac {D-1}{4}}\right)}\right)}/(p)=(\mathbb {Z} /(p))[\omega ]/{\left(\omega ^{2}-\omega -{\frac {D-1}{4}}\right)}\,.$

Da ${}D$ ungerade ist, ist ${}2$ eine Einheit in ${}\mathbb {Z} /(p)$, sodass man die Gleichung modulo ${}p$ als

${}{\left(\omega -{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{4}}-{\frac {D-1}{4}}={\left(\omega -{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {D}{4}}={\left(\omega -{\frac {1}{2}}\right)}^{2}\,$

schreiben kann, sodass wieder eine analoge Situation vorliegt.

Zur bewiesenen Aussage