Zahlentheorie/Teileranzahl/Aufgabe

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ bezeiche ${}T(n)$ die Anzahl der positiven Teiler von ${}n$. Zeige die folgenden Aussagen über ${}T(n)$.

a) Es sei ${}n=p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$ die Primfaktorzerlegung von ${}n$. Dann ist

${}T(n)=(r_{1}+1)(r_{2}+1)\cdots (r_{k}+1)\,.$

b) Für teilerfremde Zahlen ${}n$ und ${}m$ gilt ${}T(nm)=T(n)T(m)$.

c) Bestimme die Anzahl der Teiler von ${}20!$.

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