Zahlentheorie/x^4+y^4 ist z^2/Keine Lösung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}(x,y,z)$ eine nichttriviale Lösung, d.h. alle Einträge sind ${}\neq 0$. Wir können annehmen, dass alle Einträge sogar positiv sind. Wenn es eine solche Lösung gibt, dann gibt es auch eine nichttriviale Lösung mit minimalem positiven ${}z$ (unter allen nichttrivialen Lösungen). Wir zeigen, dass es dann eine Lösung mit kleinerem positiven ${}z_{1}$ gibt, was einen Widerspruch bedeutet.

Wegen der Minimalität ist ${}(x,y,z)$ primitiv, die Einträge sind also (sogar paarweise) teilerfremd. Wir können ${}x$ als ungerade annehmen. Es ist dann

$(x^{2},y^{2},z)$

ein primitives pythagoreisches Tripel. Daher gibt es nach Fakt teilerfremde natürliche Zahlen ${}(u,v)$ mit

$x^{2}=u^{2}-v^{2},\,y^{2}=2uv,\,z=u^{2}+v^{2}$

und mit ${}u+v$ ungerade. Betrachtung der ersten Gleichung modulo ${}4$ zeigt, dass ${}u$ ungerade sein muss (und ${}v$ gerade). Die erste Gleichung

${}u^{2}=x^{2}+v^{2}\,$

ist selbst ein primitives pythagoreisches Tripel. Es gibt als erneut teilerfremde natürliche Zahlen ${}(r,s)$ mit

$x=r^{2}-s^{2},\,v=2rs,\,u=r^{2}+s^{2}$

(${}x$ ist ungerade, ${}v$ gerade) mit ${}r+s$ ist ungerade. Somit sind ${}r,s,r^{2}+s^{2}=u$ paarweise teilerfremd. Aus

${}y^{2}=2uv=4(r^{2}+s^{2})rs\,$

folgt

${}\left({\frac {y}{2}}\right)^{2}=(r^{2}+s^{2})rs\,$

und aus der Teilerfremdheit der Faktoren folgt, dass die einzelnen Faktoren hier selbst Quadrate sind, also

$r=x_{1}^{2},\,s=y_{1}^{2},\,r^{2}+s^{2}=z_{1}^{2}.$

Damit ist

${}z_{1}^{2}=r^{2}+s^{2}=x_{1}^{4}+y_{1}^{4}\,$

eine neue nichttriviale Lösung der ursprünglichen Gleichung. Wegen

${}z_{1}\leq z_{1}^{2}=r^{2}+s^{2}=u<u^{2}+v^{2}=z\,$

widerspricht dies der Minimalität von ${}z$.

Zur bewiesenen Aussage