Zahlentheorie/x^4+y^4 ist z^2/Keine Lösung/Fakt/Beweis

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Beweis

Sei eine nichttriviale Lösung, d.h. alle Einträge sind . Wir können annehmen, dass alle Einträge sogar positiv sind. Wenn es eine solche Lösung gibt, dann gibt es auch eine nichttriviale Lösung mit minimalem positiven (unter allen nichttrivialen Lösungen). Wir zeigen, dass es dann eine Lösung mit kleinerem positiven gibt, was einen Widerspruch bedeutet.

Wegen der Minimalität ist primitiv, die Einträge sind also (sogar paarweise) teilerfremd. Wir können als ungerade annehmen. Es ist dann

ein primitives pythagoreisches Tripel. Daher gibt es nach Fakt teilerfremde natürliche Zahlen mit

und mit ungerade. Betrachtung der ersten Gleichung modulo zeigt, dass ungerade sein muss (und gerade). Die erste Gleichung

ist selbst ein primitives pythagoreisches Tripel. Es gibt als erneut teilerfremde natürliche Zahlen mit

( ist ungerade, gerade) mit ist ungerade. Somit sind paarweise teilerfremd. Aus

folgt

und aus der Teilerfremdheit der Faktoren folgt, dass die einzelnen Faktoren hier selbst Quadrate sind, also

Damit ist

eine neue nichttriviale Lösung der ursprünglichen Gleichung. Wegen

widerspricht dies der Minimalität von .

Zur bewiesenen Aussage