Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/Fakt/Beweis4

Beweis

Die beiden Zahlen seien

m = a_{0} + a_{1} 10 + a_{2} 1 0^{2} + \dots + a_{k} 1 0^{k} und n = b_{0} + b_{1} 10 + b_{2} 1 0^{2} + \dots + b_{k} 1 0^{k},

wobei wir eventuell auch vordere Nullen erlauben. Aufgrund des Distributivgesetzes ist die Summe gleich

\begin{matrix} m + n & = (a_{0} + a_{1} 10 + a_{2} 1 0^{2} + \dots + a_{k} 1 0^{k}) + (b_{0} + b_{1} 10 + b_{2} 1 0^{2} + \dots + b_{k} 1 0^{k}) \\ = (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1}) 10 + (a_{2} + b_{2}) 1 0^{2} + \dots + (a_{k} + b_{k}) 1 0^{k} . \end{matrix}

Wir ersetzen gemäß Verfahren

a_{0} + b_{0} = a_{0} + b_{0} + d_{0} = d_{1} 10 + c_{0}

und erhalten

\begin{matrix} m + n & = d_{1} 10 + c_{0} + (a_{1} + b_{1}) 10 + (a_{2} + b_{2}) 1 0^{2} + \dots + (a_{k} + b_{k}) 1 0^{k} \\ = c_{0} + (a_{1} + b_{1} + d_{1}) 10 + (a_{2} + b_{2}) 1 0^{2} + \dots + (a_{k} + b_{k}) 1 0^{k} . \end{matrix}

Jetzt ersetzen wir

a_{1} + b_{1} + d_{1} = d_{2} 10 + c_{1}

und erhalten

\begin{matrix} m + n & = c_{0} + (d_{2} 10 + c_{1}) 10 + (a_{2} + b_{2}) 1 0^{2} + \dots + (a_{k} + b_{k}) 1 0^{k} \\ = c_{0} + c_{1} 10 + d_{2} 1 0^{2} + (a_{2} + b_{2}) 1 0^{2} + \dots + (a_{k} + b_{k}) 1 0^{k} \\ = c_{0} + c_{1} 10 + (a_{2} + b_{2} + d_{2}) 1 0^{2} + \dots + (a_{k} + b_{k}) 1 0^{k} . \end{matrix}

Jetzt ersetzen wir

a_{2} + b_{2} + d_{2} = d_{3} 10 + c_{2}

und erhalten

\begin{matrix} m + n & = c_{0} + c_{1} 10 + (d_{3} 10 + c_{2}) 1 0^{2} + (a_{3} + b_{3}) 1 0^{3} + \dots + (a_{k} + b_{k}) 1 0^{k} \\ = c_{0} + c_{1} 10 + c_{2} 1 0^{2} + d_{3} 1 0^{3} + (a_{3} + b_{3}) 1 0^{3} + \dots + (a_{k} + b_{k}) 1 0^{k} \\ = c_{0} + c_{1} 10 + c_{2} 1 0^{2} + (a_{3} + b_{3} + d_{3}) 1 0^{3} + \dots + (a_{k} + b_{k}) 1 0^{k} . \end{matrix}

So fortfahrend bringt man die Summe $m + n$ sukzessive auf die Form, in der vor $1 0^{i}$ allein $c_{i}$ steht. Wegen $c_{i} \leq 9$ erhält man so die Darstellung im Dezimalsystem.

Zur bewiesenen Aussage