Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/Fakt/Beweis4

Beweis

Die beiden Zahlen seien

$m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\,\,{\text{ und }}\,\,n=b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{k}10^{k},$

wobei wir eventuell auch vordere Nullen erlauben. Aufgrund des Distributivgesetzes ist die Summe gleich

${}{\begin{aligned}m+n&={\left(a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\right)}+{\left(b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{k}10^{k}\right)}\\&=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})10+(a_{2}+b_{2})10^{2}+\cdots +(a_{k}+b_{k})10^{k}.\end{aligned}}$

Wir ersetzen gemäß Fakt

${}a_{0}+b_{0}=a_{0}+b_{0}+d_{0}=d_{1}10+c_{0}\,$

und erhalten

${}{\begin{aligned}m+n&=d_{1}10+c_{0}+(a_{1}+b_{1})10+(a_{2}+b_{2})10^{2}+\cdots +(a_{k}+b_{k})10^{k}\\&=c_{0}+(a_{1}+b_{1}+d_{1})10+(a_{2}+b_{2})10^{2}+\cdots +(a_{k}+b_{k})10^{k}.\end{aligned}}$

Jetzt ersetzen wir

${}a_{1}+b_{1}+d_{1}=d_{2}10+c_{1}\,$

und erhalten

${}{\begin{aligned}m+n&=c_{0}+(d_{2}10+c_{1})10+(a_{2}+b_{2})10^{2}+\cdots +(a_{k}+b_{k})10^{k}\\&=c_{0}+c_{1}10+d_{2}10^{2}+(a_{2}+b_{2})10^{2}+\cdots +(a_{k}+b_{k})10^{k}\\&=c_{0}+c_{1}10+(a_{2}+b_{2}+d_{2})10^{2}+\cdots +(a_{k}+b_{k})10^{k}.\end{aligned}}$

Jetzt ersetzen wir

${}a_{2}+b_{2}+d_{2}=d_{3}10+c_{2}\,$

und erhalten

${}{\begin{aligned}m+n&=c_{0}+c_{1}10+(d_{3}10+c_{2})10^{2}+(a_{3}+b_{3})10^{3}+\cdots +(a_{k}+b_{k})10^{k}\\&=c_{0}+c_{1}10+c_{2}10^{2}+d_{3}10^{3}+(a_{3}+b_{3})10^{3}+\cdots +(a_{k}+b_{k})10^{k}\\&=c_{0}+c_{1}10+c_{2}10^{2}+(a_{3}+b_{3}+d_{3})10^{3}+\cdots +(a_{k}+b_{k})10^{k}.\end{aligned}}$

So fortfahrend bringt man die Summe ${}m+n$ sukzessive auf die Form, in der vor ${}10^{i}$ allein ${}c_{i}$ steht. Wegen ${}c_{i}\leq 9$ erhält man so die Darstellung im Dezimalsystem.

Zur bewiesenen Aussage