Beweis
Die linke Faktor sei
-
![{\displaystyle {}m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee282ac4924051837b095c2fbc41b699f001bed5)
und der rechte Faktor sei
, wir haben also die schriftliche Multiplikation der Form
-
im Sinne von
Fakt
durchzuführen. Das Ergebnis ist die Zahl
. Wir müssen zeigen, dass dies das wahre Produkt ist. Dies zeigen wir durch das folgende Invarianzprinzip des Multiplikationsalgorithmus, dass nämlich nach dem
-ten Schritt
(
)
der Ausdruck
-
![{\displaystyle P_{i}={\left(a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}\right)}\cdot b_{0}+d_{i+1}10^{i+1}+c_{i}10^{i}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca070a461bbfb892c49c53c0b1f67606c3fc959c)
konstant ist. Wegen
-
![{\displaystyle {}m\cdot b_{0}=P_{-1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64b777c29761eb47e476e2829cb13e26ec6d7055)
und da für
-
![{\displaystyle {}i>k\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb2add04234d1c3344c6a352cec985bd53cdf71)
das Produkt vollständig abgebaut ist, folgt daraus, dass die
die Ziffern des Produktes sind. Die Konstanz ergibt sich unter Verwendung von
-
![{\displaystyle {}a_{i}b_{0}+d_{i}=d_{i+1}\cdot 10+c_{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/834f83c0f5af88365747835d135db023992e19f4)
aus
(das beschreibt den
-ten Rechenschritt)
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}P_{i-1}&={\left(a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i}10^{i}\right)}\cdot b_{0}+d_{i}10^{i}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&={\left(a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}\right)}\cdot b_{0}+a_{i}b_{0}10^{i}+d_{i}10^{i}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&={\left(a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}\right)}\cdot b_{0}+{\left(a_{i}b_{0}+d_{i}\right)}10^{i}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&={\left(a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}\right)}\cdot b_{0}+{\left(d_{i+1}10+c_{i}\right)}10^{i}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&={\left(a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}\right)}\cdot b_{0}+d_{i+1}10^{i+1}+c_{i}10^{i}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=P_{i}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9d09329802fbc4031218c011cde582ad4fbcfe8)