Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/Korrekt/Fakt/Beweis2

Beweis

Die linke Faktor sei

${}m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\,$

und der rechte Faktor sei ${}b=b_{0}$, wir haben also die schriftliche Multiplikation der Form

$a_{k}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}\,\,\cdot \,\,b$

im Sinne von Fakt durchzuführen. Das Ergebnis ist die Zahl ${}c_{k+1}c_{k}\ldots c_{2}c_{1}c_{0}$. Wir müssen zeigen, dass dies das wahre Produkt ist. Es ist, wobei wir mehrfach die definierende Gleichung ${}a_{i}b+d_{i}=d_{i+1}\cdot 10+c_{i}$ verwenden,

${}{\begin{aligned}mb&={\left(a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\right)}b\\&=a_{0}b+a_{1}b10+a_{2}b10^{2}+\cdots +a_{k}b10^{k}\\&=(c_{0}+d_{1}10)+a_{1}b10+a_{2}b10^{2}+\cdots +a_{k}b10^{k}\\&=c_{0}+(d_{1}+a_{1}b)10+a_{2}b10^{2}+\cdots +a_{k}b10^{k}\\&=c_{0}+(c_{1}+d_{2}10)10+a_{2}b10^{2}+\cdots +a_{k}b10^{k}\\&=c_{0}+c_{1}10+(d_{2}+a_{2}b)10^{2}+\cdots +a_{k}b10^{k}\\&=c_{0}+c_{1}10+(c_{2}+d_{3}10)10^{2}+\cdots +a_{k}b10^{k}\\&=\ldots \\&=c_{0}+c_{1}10+c_{2}10^{2}+\cdots +c_{k}10^{k}+c_{k+1}10^{k+1}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage