Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/Korrekt/Fakt/Beweis2

Beweis

Die linke Faktor sei

$m=a_0+a_{1}10+a_{2}10^2+\cdots +a_{k}10^k$

und der rechte Faktor sei  $b=b_0$,  wir haben also die schriftliche Multiplikation der Form

$a_k\dots a_2{a}_1{a}_0\cdot b$

im Sinne von Verfahren durchzuführen. Das Ergebnis ist die Zahl $c_{k+1}{c}_k\dots c_2{c}_1{c}_0$. Wir müssen zeigen, dass dies das wahre Produkt ist. Es ist, wobei wir mehrfach die definierende Gleichung  $a_{i}b+d_i=d_{i+1}\cdot 10+c_i$  verwenden,

$\begin{array}{cc}mb& =(a_0+a_{1}10+a_{2}10^2+\cdots +a_{k}10^k)b\\ & =a_{0}b+a_{1}b10+a_{2}b10^2+\cdots +a_{k}b10^k\\ & =(c_0+d_{1}10)+a_{1}b10+a_{2}b10^2+\cdots +a_{k}b10^k\\ & =c_0+(d_1+a_{1}b)10+a_{2}b10^2+\cdots +a_{k}b10^k\\ & =c_0+(c_1+d_{2}10)10+a_{2}b10^2+\cdots +a_{k}b10^k\\ & =c_0+c_{1}10+(d_2+a_{2}b)10^2+\cdots +a_{k}b10^k\\ & =c_0+c_{1}10+(c_2+d_{3}10)10^2+\cdots +a_{k}b10^k\\ & =\dots \\ & =c_0+c_{1}10+c_{2}10^2+\cdots +c_{k}10^k+c_{k+1}10^{k+1}.\end{array}$

Zur bewiesenen Aussage