Zeitunabhängige Differentialgleichung/Höhere Ableitungen/Aufgabe

Es sei

{}y'=h(y)\,

eine zeitunabhängige Differentialgleichung mit einer unendlich oft differenzierbaren Funktion

h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

und es sei

y\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Lösung dazu auf einem offenen Intervall ${}I$ .

a) Drücke die zweite Ableitung von ${}y$ mit ${}h,h'$ und ${}y$ aus.

b) Drücke die dritte Ableitung von ${}y$ mit ${}h,h',h^{\prime \prime }$ und ${}y$ aus.

c) Zeige, dass die ${}n$ -te Ableitung von ${}y$ die Form

{\left(\sum _{\nu }a_{\nu }{\left(\prod _{j=0}^{n-1}{\left(h^{(j)}\right)}^{\nu _{j}}\right)}\right)}\circ y

mit gewissen Zahlen ${}a_{\nu }\in \mathbb {N}$ für jedes ${}n$ -Tupel ${}\nu =(\nu _{0},\ldots ,\nu _{n-1})\in \mathbb {N} ^{n}$

mit

{}\nu _{j}\leq n-1

besitzt.