Zeitunabhängige Differentialgleichung/Höhere Ableitungen/Aufgabe

Es sei

${}y'=h(y)\,$

eine zeitunabhängige Differentialgleichung mit einer unendlich oft differenzierbaren Funktion

$h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

und es sei

$y\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Lösung dazu auf einem offenen Intervall ${}I$.

a) Drücke die zweite Ableitung von ${}y$ mit ${}h,h'$ und ${}y$ aus.

b) Drücke die dritte Ableitung von ${}y$ mit ${}h,h',h^{\prime \prime }$ und ${}y$ aus.

c) Zeige, dass die ${}n$-te Ableitung von ${}y$ die Form

${\left(\sum _{\nu }a_{\nu }{\left(\prod _{j=0}^{n-1}{\left(h^{(j)}\right)}^{\nu _{j}}\right)}\right)}\circ y$

mit gewissen Zahlen ${}a_{\nu }\in \mathbb {N}$ für jedes ${}n$-Tupel ${}\nu =(\nu _{0},\ldots ,\nu _{n-1})\in \mathbb {N} ^{n}$ mit ${}\nu _{j}\leq n-1$ besitzt.

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen