Zeitunabhängige Differentialgleichung/Höhere Ableitungen/Aufgabe/Lösung

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a) Es ist

da es sich um eine Lösung handelt. Die rechte Seite ist differenzierbar, da und differenzierbar sind, und nach der Kettenregel ist somit

b) Da beliebig oft differenzierbar ist, ist

differenzierbar, und es ist

c) Wir führen Induktion nach . Die Aussage ist für richtig nach Teil a) und b), der Induktionsanfang ist also gesichert. Zum Beweis des Induktionsschrittes von nach können wir von einer Darstellung

ausgehen. Dies zeigt zunächst, dass auch -mal ableitbar ist. Zur Berechnung der Form der Ableitung genügt es, einen Summanden der Form

zu betrachten. Die Ableitung davon ist nach der Ketten- und der Produktregel gleich

Dabei erhöht sich die höchste Ableitungs von , die vorkommt, auf , die Potenzen von erhöhen sich maximal um und die Koeffizienten sind nach wie vor aus . Daher liegt insgesamt wieder eine Form wie beschrieben vor.
Zur gelösten Aufgabe