Zeitunabhängige Differentialgleichung/Höhere Ableitungen/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${}y'(t)=h(y(t))\,,$

da es sich um eine Lösung handelt. Die rechte Seite ist differenzierbar, da ${}h$ und ${}y$ differenzierbar sind, und nach der Kettenregel ist somit

${}{\begin{aligned}y^{\prime \prime }(t)&={\left(h(y(t))\right)}'\\&=h'(y(t))y'(t)\\&=h'(y(t))h(y(t))\\&={\left(h'h\right)}(y(t)).\end{aligned}}$

b) Da ${}h$ beliebig oft differenzierbar ist, ist

${}y^{\prime \prime }={\left(h'h\right)}\circ y\,$

differenzierbar, und es ist

${}{\begin{aligned}y^{\prime \prime \prime }(t)&={\left({\left(h'h\right)}(y(t))\right)}'\\&={\left(h^{\prime \prime }(y(t))h(y(t))+h^{\prime }(y(t))h^{\prime }(y(t))\right)}\cdot y'(t)\\&={\left(h^{\prime \prime }(y(t))h(y(t))+h^{\prime }(y(t))h^{\prime }(y(t))\right)}\cdot h(y(t))\\&=h^{\prime \prime }(y(t))h(y(t))h(y(t))+h^{\prime }(y(t))h^{\prime }(y(t))h(y(t)).\end{aligned}}$

c) Wir führen Induktion nach ${}n$. Die Aussage ist für ${}n=1,2,3$ richtig nach Teil a) und b), der Induktionsanfang ist also gesichert. Zum Beweis des Induktionsschrittes von ${}n$ nach ${}n+1$ können wir von einer Darstellung

${}y^{(n)}={\left(\sum _{\nu }a_{\nu }{\left(\prod _{j=0}^{n-1}{\left(h^{(j)}\right)}^{\nu _{j}}\right)}\right)}\circ y\,$

ausgehen. Dies zeigt zunächst, dass ${}y$ auch ${}(n+1)$-mal ableitbar ist. Zur Berechnung der Form der Ableitung genügt es, einen Summanden der Form

${\left(\prod _{j=0}^{n-1}{\left(h^{(j)}\right)}^{\nu _{j}}\right)}\circ y$

zu betrachten. Die Ableitung davon ist nach der Ketten- und der Produktregel gleich

${}{\begin{aligned}{\left({\left(\prod _{j=0}^{n-1}{\left(h^{(j)}\right)}^{\nu _{j}}\right)}'\circ y\right)}\cdot y'&={\left({\left(\sum _{j=0}^{n-1}\nu _{j}{\left(\prod _{j=0}^{n-1}{\left(h^{(j)}\right)}^{\nu _{j}-1}h^{(j+1)}\right)}\right)}\circ y\right)}\cdot y'\\&={\left({\left(\sum _{j=0}^{n-1}\nu _{j}{\left(\prod _{j=0}^{n-1}{\left(h^{(j)}\right)}^{\nu _{j}-1}h^{(j+1)}\right)}\right)}\circ y\right)}\cdot {\left(h\circ y\right)}\\&={\left(\sum _{j=0}^{n-1}\nu _{j}{\left(\prod _{j=0}^{n-1}{\left(h^{(j)}\right)}^{\nu _{j}-1}h^{(j+1)}h\right)}\right)}\circ y.\end{aligned}}$

Dabei erhöht sich die höchste Ableitungs von ${}h$, die vorkommt, auf ${}n$, die Potenzen von ${}h^{(j)}$ erhöhen sich maximal um ${}1$ und die Koeffizienten sind nach wie vor aus ${}\mathbb {N}$. Daher liegt insgesamt wieder eine Form wie beschrieben vor.

Zur gelösten Aufgabe