Zentralfeld/Kreisbewegung/Zeitunabhängig/Gradientenfeld/Aufgabe/Lösung

a) Der stetig differenzierbare Weg sei durch

$\gamma :I⟶V$

gegeben mit

$\Vert \gamma (t)\Vert =c$

für alle $t\in I$. Es seien ${\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_n$ die Komponenten bezüglich einer Orthonormalbasis von $V$. Dann ist

${\gamma }_1^2(t)+\cdots +{\gamma }_n^2(t)=c^2$

konstant und daher gilt für die Ableitung

${\gamma }_1(t)\cdot {{\gamma }_1}^{\prime }(t)+\cdots +{\gamma }_n(t)\cdot {{\gamma }_n}^{\prime }(t)=0,$

also ist

$⟨\left(\begin{array}{c}{\gamma }_1(t)\\ ⋮\\ {\gamma }_n(t)\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{{\gamma }_1}^{\prime }(t)\\ ⋮\\ {{\gamma }_n}^{\prime }(t)\end{array}\right)⟩=0.$

Damit ist auch

$⟨g(\gamma (t))\cdot \left(\begin{array}{c}{\gamma }_1(t)\\ ⋮\\ {\gamma }_n(t)\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{{\gamma }_1}^{\prime }(t)\\ ⋮\\ {{\gamma }_n}^{\prime }(t)\end{array}\right)⟩=0$

und daher ist das Wegintegral längs $\gamma$ gleich $0$, da es das Integral über diese Funktion ist.

b) Wenn $F$ ein Gradientenfeld ist, so gibt es ein Potential

$h:V⟶ℝ,$

also eine differenzierbare Funktion mit

$\mathrm{Grad}h(v)=F(v)=g(v)v.$

Für zwei Punkte $v,w\in V$, die vom Nullpunkt den gleichen Abstand

$\Vert v\Vert =\Vert w\Vert =c$

haben, gibt es nach Aufgabe eine stetig differenzierbare Kurve

$\gamma :[0,1]⟶V$

mit $\gamma (0)=v$ und $\gamma (1)=w$, die zum Nullpunkt konstant den Abstand $c$ besitzt. Mit einem solchen Weg erhält man

$h(v)-h(w)={\int }_0^a⟨F(\gamma (t),{\gamma }^{\prime }(t)⟩dt=0$

nach Teil a), sodass der Wert von $h(v)$ nur von $\Vert v\Vert$ abhängt. Daher ist

$h(v)=f(\Vert v\Vert )$

mit einer gewissen Funktion

$f:{ℝ}_{\ge }⟶ℝ.$

Diese ist stetig, da für einen Orthonormalvektor $u$ die Beziehung

$f(r)=h(ru)$

gilt und $h$ stetig ist. Für den Gradienten von $h$ ist

Wenn umgekehrt

$g(v)=f(\Vert v\Vert )$

ist mit $f$ stetig, so sei $s$ eine Stammfunktion zu $f$. Wir behaupten, dass

$h(v):=s(\Vert v\Vert )$

ein Potential zum Vektorfeld $g(v)v$ ist.

Zur gelösten Aufgabe