Zentralfeld/Kreisbewegung/Zeitunabhängig/Gradientenfeld/Aufgabe/Lösung

a) Der stetig differenzierbare Weg sei durch

$\gamma \colon I\longrightarrow V$

gegeben mit

${}\Vert {\gamma (t)}\Vert =c\,$

für alle ${}t\in I$. Es seien ${}\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}$ die Komponenten bezüglich einer Orthonormalbasis von ${}V$. Dann ist

${}\gamma _{1}^{2}(t)+\cdots +\gamma _{n}^{2}(t)=c^{2}\,$

konstant und daher gilt für die Ableitung

${}\gamma _{1}(t)\cdot \gamma _{1}'(t)+\cdots +\gamma _{n}(t)\cdot \gamma _{n}'(t)=0\,,$

also ist

${}\left\langle {\begin{pmatrix}\gamma _{1}(t)\\\vdots \\\gamma _{n}(t)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(t)\\\vdots \\\gamma _{n}'(t)\end{pmatrix}}\right\rangle =0\,.$

Damit ist auch

${}\left\langle g(\gamma (t))\cdot {\begin{pmatrix}\gamma _{1}(t)\\\vdots \\\gamma _{n}(t)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(t)\\\vdots \\\gamma _{n}'(t)\end{pmatrix}}\right\rangle =0\,$

und daher ist das Wegintegral längs ${}\gamma$ gleich ${}0$, da es das Integral über diese Funktion ist.

b) Wenn ${}F$ ein Gradientenfeld ist, so gibt es ein Potential

$h\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,$

also eine differenzierbare Funktion mit

${}\operatorname {Grad} \,h(v)=F(v)=g(v)v\,.$

Für zwei Punkte ${}v,w\in V$, die vom Nullpunkt den gleichen Abstand

${}\Vert {v}\Vert =\Vert {w}\Vert =c\,$

haben, gibt es nach Aufgabe eine stetig differenzierbare Kurve

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow V$

mit ${}\gamma (0)=v$ und ${}\gamma (1)=w$, die zum Nullpunkt konstant den Abstand ${}c$ besitzt. Mit einem solchen Weg erhält man

${}h(v)-h(w)=\int _{0}^{a}\left\langle F(\gamma (t),\gamma '(t)\right\rangle dt=0\,$

nach Teil a), sodass der Wert von ${}h(v)$ nur von ${}\Vert {v}\Vert$ abhängt. Daher ist

${}h(v)=f(\Vert {v}\Vert )\,$

mit einer gewissen Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{\geq }\longrightarrow \mathbb {R} .$

Diese ist stetig, da für einen Orthonormalvektor ${}u$ die Beziehung

${}f(r)=h(ru)\,$

gilt und ${}h$ stetig ist. Für den Gradienten von ${}h$ ist

Wenn umgekehrt

${}g(v)=f(\Vert {v}\Vert )\,$

ist mit ${}f$ stetig, so sei ${}s$ eine Stammfunktion zu ${}f$. Wir behaupten, dass

${}h(v):=s(\Vert {v}\Vert )\,$

ein Potential zum Vektorfeld ${}g(v)v$ ist.

Zur gelösten Aufgabe