Zerfällungskörper/Q/X^4-7/Graduierbarkeit/Kummer/Aufgabe/Lösung

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  1. Über den komplexen Zahlen liegt die Faktorzerlegung
    wobei die positive reelle vierte Wurzel der bezeichnet. Die Zerlegung ist korrekt, da in den Linearformen sämtliche vierte Wurzeln aus der vorkommen. Diese vier Wurzeln müssen zum Zerfällungskörper gehören, daher ist insbesondere

    ein Element von . Es ist also

  2. Das Polynom ist irreduzibel in , da die obige reelle Zerlegung in quadratische Polynome nicht rational durchführbar ist. Daher haben im kommutativen Diagramm

    die horizontalen Erweiterungen den Grad und die vertikalen Erweiterungen den Grad (da reell ist, gehört die imaginäre Einheit da nicht dazu). Die Gesamterweiterung hat also den Grad .

  3. Es liegt eine graduierte Körpererweiterung vor, wobei die graduierende Gruppe gleich ist, und wobei den Grad und die imaginäre Einheit den Grad bekommt.
  4. Die Galoisgruppe enthält die Untergruppe der homogenen Automorphismen (die, die von Charakteren herrühren). Diese besteht neben der Identität aus (den durch diese Vorschriften festgelegten)

    und somit ist .

  5. Es sei der durch

    festgelegte -Automorphismus von . Es sei der zweite oben (im Display) aufgelistete homogene Automorphismus. Dann ist

    und

    Die Galoisgruppe ist also nicht kommutativ.

  6. Da die Galoisgruppe nicht abelsch ist liegt keine Kummererweiterung vor.
Zur gelösten Aufgabe