- Über den komplexen Zahlen liegt die Faktorzerlegung
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}X^{4}-7&={\left(X-{\sqrt[{4}]{7}}\right)}{\left(X+{\sqrt[{4}]{7}}\right)}{\left(X-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}\right)}{\left(X+{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}\right)}\\&={\left(X^{2}-{\sqrt {7}}\right)}{\left(X^{2}+{\sqrt {7}}\right)},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e89a27e4f0566fa2deabb6f39239a80e244b61c7)
wobei ![{\displaystyle {}{\sqrt[{4}]{7}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d99fd6e78a290aaec332e2671961962cd3f984f)
die positive reelle vierte Wurzel der 
bezeichnet. Die Zerlegung ist korrekt, da in den Linearformen sämtliche vierte Wurzeln aus der vorkommen. Diese vier Wurzeln müssen zum Zerfällungskörper 
gehören, daher ist insbesondere
-
![{\displaystyle {}{\frac {{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}}{\sqrt[{4}]{7}}}={\mathrm {i} }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e2685064b0c78e7feeed0861299c9f93fd17aff)
ein Element von . Es ist also
-
![{\displaystyle {}L=\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}},{\mathrm {i} }]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee078ba5dad617f50fe684d4d5f695eb439798de)
- Das Polynom
ist irreduzibel in ![{\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05854fb7f5090d865105d7297fa178c8eb802fbf)
, da die obige reelle Zerlegung in quadratische Polynome nicht rational durchführbar ist. Daher haben im kommutativen Diagramm
-
![{\displaystyle {\begin{matrix}\mathbb {Q} &{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}}]&\\\downarrow &&\downarrow &\\\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&L&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f28252c5cd1626f9139c2f91161b804284b161)
die horizontalen Erweiterungen den Grad 
und die vertikalen Erweiterungen den Grad 
(da ![{\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ef3532bd088f40d714644c5df60833adc0b6b7)
reell ist, gehört die imaginäre Einheit da nicht dazu).
Die Gesamterweiterung hat also den Grad 
.
- Es liegt eine graduierte Körpererweiterung vor, wobei die graduierende Gruppe gleich
ist, und wobei den Grad 
und die imaginäre Einheit den Grad 
bekommt.
-
Die Galoisgruppe enthält die Untergruppe
der homogenen Automorphismen
(die, die von Charakteren herrühren).
Diese besteht neben der Identität aus
(den durch diese Vorschriften festgelegten)
-
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{7}}\longmapsto -{\sqrt[{4}]{7}},\,{\mathrm {i} }\longmapsto {\mathrm {i} },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4eac8698c820bdf3aaa80fa442a75717ef1d53a)
-
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{7}}\longmapsto {\sqrt[{4}]{7}},\,{\mathrm {i} }\longmapsto -{\mathrm {i} },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/609a1344dcd54652c2137e0abd0aa0547da832fa)
-
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{7}}\longmapsto -{\sqrt[{4}]{7}},\,{\mathrm {i} }\longmapsto -{\mathrm {i} },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e70695f514c7f12be42d162e25cd73c45a2f309c)
und somit ist
.
-
Es sei
der durch
-
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{7}}\longmapsto {\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}},\,{\mathrm {i} }\longmapsto {\mathrm {i} },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d142f4d34065251c022e84ff7ccef7b3c40add7d)
festgelegte ![{\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8db1ddb8b0fea8305b8d43d2701b675d1d57c5a8)
-Automorphismus von . Es sei 
der zweite oben
(im Display)
aufgelistete homogene Automorphismus. Dann ist
-
![{\displaystyle {}{\left(\psi \circ \varphi \right)}({\sqrt[{4}]{7}})=\psi ({\sqrt[{4}]{7}})={\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd0e58b7b3fec27eac31d3218c4a71f6f800d937)
und
-
![{\displaystyle {}{\left(\varphi \circ \psi \right)}({\sqrt[{4}]{7}})=\varphi ({\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}})=-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/492cfba4deb4fbe15865f3a50d08eb69a984e62a)
Die Galoisgruppe ist also nicht kommutativ.
- Da die Galoisgruppe nicht abelsch ist liegt keine Kummererweiterung vor.
