Zerfällungskörper/Q/X^4-7/Graduierbarkeit/Kummer/Aufgabe

1. Bestimme den Zerfällungskörper ${}L$ zum Polynom ${}X^{4}-7\in \mathbb {Q} [X]$.
2. Was ist der Grad ${}\mathbb {Q} \subseteq L$?
3. Ist die Körpererweiterung graduierbar (mit welcher graduierenden Gruppe?).
4. Was sind die homogenen Automorphismen, welche Gruppe bilden sie?
5. Ist die Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}\mathbb {Q} )$ abelsch?
6. Handelt es sich um eine Kummererweiterung (zu welchem Exponenten)?

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