Zerfällungskörper/Q/X^4-7/Wirkungsweise/Nullstellen/Aufgabe/Lösung

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  1. Über den komplexen Zahlen liegt die Faktorzerlegung
    wobei die positive reelle vierte Wurzel der bezeichnet. Die Zerlegung ist korrekt, da in den Linearformen sämtliche vierte Wurzeln aus der vorkommen.
  2. Die vier Nullstellen aus Teil (1) müssen zum Zerfällungskörper gehören, daher ist insbesondere

    ein Element von . Es ist also

  3. Das Polynom ist irreduzibel in , da die obige reelle Zerlegung in quadratische Polynome nicht rational durchführbar ist. Daher haben im kommutativen Diagramm

    die horizontalen Erweiterungen den Grad und die vertikalen Erweiterungen den Grad (da reell ist, gehört die imaginäre Einheit da nicht dazu). Die Gesamterweiterung hat also den Grad .

  4. Ein -Automorphismus sendet auf sich selbst oder auf . Im ersten Fall handelt es sich um einen -Automorphismus. Diese schauen wir zuerst an. Unter einem solchen Automorphismus kann auf jede andere Nullstelle von abgebildet werden, dadurch ist dann alles festgelegt. Dies führt zu den Permutationen

    Wenn auf abgebildet wird, so kann ebenfalls auf jede andere Nullstelle von abgebildet werden. Dies führt zu den Permutationen

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