Zerfällungskörper/Q/X^4-7/Wirkungsweise/Nullstellen/Aufgabe/Lösung

1. Über den komplexen Zahlen liegt die Faktorzerlegung

   ${}{\begin{aligned}X^{4}-7&={\left(X-{\sqrt[{4}]{7}}\right)}{\left(X+{\sqrt[{4}]{7}}\right)}{\left(X-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}\right)}{\left(X+{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}\right)}\\&={\left(X^{2}-{\sqrt {7}}\right)}{\left(X^{2}+{\sqrt {7}}\right)},\end{aligned}}$

   wobei ${}{\sqrt[{4}]{7}}$ die positive reelle vierte Wurzel der ${}7$ bezeichnet. Die Zerlegung ist korrekt, da in den Linearformen sämtliche vierte Wurzeln aus der ${}7$ vorkommen.
2. Die vier Nullstellen aus Teil (1) müssen zum Zerfällungskörper ${}L$ gehören, daher ist insbesondere

   ${}{\frac {{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}}{\sqrt[{4}]{7}}}={\mathrm {i} }\,$

   ein Element von ${}L$. Es ist also

   ${}L=\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}},{\mathrm {i} }]\,.$

3. Das Polynom ${}X^{4}-7$ ist irreduzibel in ${}\mathbb {Q} [X]$, da die obige reelle Zerlegung in quadratische Polynome nicht rational durchführbar ist. Daher haben im kommutativen Diagramm

   ${\begin{matrix}\mathbb {Q} &{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}}]&\\\downarrow &&\downarrow &\\\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&L&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   die horizontalen Erweiterungen den Grad ${}4$ und die vertikalen Erweiterungen den Grad ${}2$ (da ${}\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}}]$ reell ist, gehört die imaginäre Einheit da nicht dazu). Die Gesamterweiterung hat also den Grad ${}8$.

4. Ein ${}\mathbb {Q}$-Automorphismus sendet ${}{\mathrm {i} }$ auf sich selbst oder auf ${}-{\mathrm {i} }$. Im ersten Fall handelt es sich um einen ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$-Automorphismus. Diese schauen wir zuerst an. Unter einem solchen Automorphismus kann ${}{\sqrt[{4}]{7}}$ auf jede andere Nullstelle von ${}X^{4}-7$ abgebildet werden, dadurch ist dann alles festgelegt. Dies führt zu den Permutationen

   ${}x$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$
   ${}\varphi (x)$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$

   ${}x$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$
   ${}\varphi (x)$	${}-{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$

   ${}x$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$
   ${}\varphi (x)$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$

   ${}x$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$
   ${}\varphi (x)$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\sqrt[{4}]{7}}$

   Wenn ${}{\mathrm {i} }$ auf ${}-{\mathrm {i} }$ abgebildet wird, so kann ebenfalls ${}{\sqrt[{4}]{7}}$ auf jede andere Nullstelle von ${}X^{4}-7$ abgebildet werden. Dies führt zu den Permutationen

   ${}x$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$
   ${}\varphi (x)$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$

   ${}x$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$
   ${}\varphi (x)$	${}-{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$

   ${}x$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$
   ${}\varphi (x)$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$

   ${}x$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$
   ${}\varphi (x)$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$	${}{\sqrt[{4}]{7}}$

Zur gelösten Aufgabe