Zerfällungskörper/Rationales Polynom/Komplexe Konjugation/Aufgabe/Lösung

Es seien ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ die komplexen Nullstellen von ${}F$, die den Zerfällungskörper ${}L$ erzeugen. Ein beliebiges Element ${}z\in L$ ist ein polynomialer Ausdruck ${}P(x_{1},\ldots ,x_{n})$ in den ${}x_{i}$ mit Koeffizienten aus ${}\mathbb {Q}$. Für die komplexe Konjugation gilt dabei

${}{\overline {z}}={\overline {P(x_{1},\ldots ,x_{n})}}=P({\overline {x_{1}}},\ldots ,{\overline {x_{n}}})\,,$

da rationalen Zahlen auf sich abgebildet werden. Wegen

${}F({\overline {x_{i}}})={\overline {F(x_{i})}}=0\,$

ist mit ${}x_{i}$ auch ${}{\overline {x_{i}}}$ eine Nullstelle von ${}F$. Daher ist stets ${}{\overline {x_{i}}}\in L$ und somit auch ${}P({\overline {x_{1}}},\ldots ,{\overline {x_{n}}})\in L$. Die komplexe Konjugation von ${}z$ gehört also wieder zu ${}L$.

Zur gelösten Aufgabe