Ziffernsystem/Verdopplung und Verfünfachung/Vereinfachtes Verfahren/Bemerkung

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Bei der Multiplikation mit und mit vereinfacht sich das in Bemerkung beschriebene Verfahren zur Multiplikation einer Zahl

mit einer einstelligen Zahl . Gemäß diesem Verfahren sind die Berechnungen (Division mit Rest)

mit

durchzuführen, wobei dadurch die und die rekursiv mit dem Startwert festgelegt sind und wobei die die Ziffern des Ergebnisses beschreiben. Wir behaupten, dass man in den beiden Fällen stattdessen nur

berechnen muss und die Ergebnisziffern

erhält. Insbesondere hängt nur von und ab. Kurz gesagt: Die -te Ziffer eines Produktes mit (oder mit ) ergibt sich, wenn man die zweistellige Zahl mit bzw. mit multipliziert und von diesem Ergebnis die vordere Ziffer nimmt.

Zunächst sind nach Fakt bei der Multiplikation mit einer jeden einstelligen Zahl die Überträge echt kleiner als . Bei kommen also nur die Überträge oder in Frage. Somit stimmen die ganzzahligen Anteile bei der Division mit Rest von bzw. durch überein (wenn man zu einer geraden Zahl eine addiert, ändert sich die Zehnerziffer nicht), Die Beziehung folgt direkt.

Bei kommen nur die Überträge in Frage. Somit stimmen die ganzzahligen Anteile bei der Division mit Rest von bzw. durch überein (wenn man zu einer durch teilbaren Zahl eine Zahl addiert, ändert sich die Zehnerziffer nicht). Die Beziehung folgt wieder direkt.