Ziffernsystem/Verdopplung und Verfünfachung/Vereinfachtes Verfahren/Bemerkung

Bei der Multiplikation mit $b = 2$ und mit $b = 5$ vereinfacht sich das in Verfahren beschriebene Verfahren zur Multiplikation einer Zahl

m = \sum_{i = 0}^{k} a_{i} \cdot 1 0^{i}

mit einer einstelligen Zahl $b$ . Gemäß diesem Verfahren sind die Berechnungen (Division mit Rest)

a_{i} \cdot b + d_{i} = d_{i + 1} \cdot 10 + c_{i}

mit

0 \leq c_{i} \leq 9

durchzuführen, wobei dadurch die $c_{i}$ und die $d_{i}$ rekursiv mit dem Startwert $d_{0} = 0$ festgelegt sind und wobei die $c_{i}$ die Ziffern des Ergebnisses beschreiben. Wir behaupten, dass man in den beiden Fällen stattdessen nur

a_{i} \cdot b = d_{i + 1} \cdot 10 + r_{i}

berechnen muss und die Ergebnisziffern

c_{i} = d_{i} + r_{i}

erhält. Insbesondere hängt $c_{i}$ nur von $a_{i}$ und $a_{i - 1}$ ab. Kurz gesagt: Die $i$ -te Ziffer eines Produktes $a_{k} \dots a_{i} a_{i - 1} \dots a_{2} a_{1} a_{0}$ mit $2$ (oder mit $5$ ) ergibt sich, wenn man die zweistellige Zahl $a_{i} a_{i - 1}$ mit $2$ bzw. mit $5$ multipliziert und von diesem Ergebnis die vordere Ziffer nimmt.

Zunächst sind nach Fakt bei der Multiplikation mit einer jeden einstelligen Zahl $b$ die Überträge echt kleiner als $b$ . Bei $b = 2$ kommen also nur die Überträge $0$ oder $1$ in Frage. Somit stimmen die ganzzahligen Anteile bei der Division mit Rest von $a_{i} \cdot 2 + d_{i}$ bzw. $a_{i} \cdot 2$ durch $10$ überein (wenn man zu einer geraden Zahl eine $1$ addiert, ändert sich die Zehnerziffer nicht), die Beziehung $c_{i} = r_{i} + d_{i}$ folgt direkt.

Bei $b = 5$ kommen nur die Überträge $0, 1, 2, 3, 4$ in Frage. Somit stimmen die ganzzahligen Anteile bei der Division mit Rest von $a_{i} \cdot 5 + d_{i}$ bzw. $a_{i} \cdot 5$ durch $10$ überein (wenn man zu einer durch $5$ teilbaren Zahl eine Zahl $\leq 4$ addiert, ändert sich die Zehnerziffer nicht). Die Beziehung $c_{i} = r_{i} + d_{i}$ folgt wieder direkt.