Ziffernsystem/Verdopplung und Verfünfachung/Vereinfachtes Verfahren/Bemerkung

Bei der Multiplikation mit ${}b=2$ und mit ${}b=5$ vereinfacht sich das in Bemerkung beschriebene Verfahren zur Multiplikation einer Zahl

${}m=\sum _{i=0}^{k}a_{i}\cdot 10^{i}\,$

mit einer einstelligen Zahl ${}b$. Gemäß diesem Verfahren sind die Berechnungen (Division mit Rest)

${}a_{i}\cdot b+d_{i}=d_{i+1}\cdot 10+c_{i}\,$

mit

${}0\leq c_{i}\leq 9\,$

durchzuführen, wobei dadurch die ${}c_{i}$ und die ${}d_{i}$ rekursiv mit dem Startwert ${}d_{0}=0$ festgelegt sind und wobei die ${}c_{i}$ die Ziffern des Ergebnisses beschreiben. Wir behaupten, dass man in den beiden Fällen stattdessen nur

${}a_{i}\cdot b=d_{i+1}\cdot 10+r_{i}\,$

berechnen muss und die Ergebnisziffern

${}c_{i}=d_{i}+r_{i}\,$

erhält. Insbesondere hängt ${}c_{i}$ nur von ${}a_{i}$ und ${}a_{i-1}$ ab. Kurz gesagt: Die ${}i$-te Ziffer eines Produktes ${}a_{k}\ldots a_{i}a_{i-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}$ mit ${}2$ (oder mit ${}5$) ergibt sich, wenn man die zweistellige Zahl ${}a_{i}a_{i-1}$ mit ${}2$ bzw. mit ${}5$ multipliziert und von diesem Ergebnis die vordere Ziffer nimmt.

Zunächst sind nach Fakt bei der Multiplikation mit einer jeden einstelligen Zahl ${}b$ die Überträge echt kleiner als ${}b$. Bei ${}b=2$ kommen also nur die Überträge ${}0$ oder ${}1$ in Frage. Somit stimmen die ganzzahligen Anteile bei der Division mit Rest von ${}a_{i}\cdot 2+d_{i}$ bzw. ${}a_{i}\cdot 2$ durch ${}10$ überein (wenn man zu einer geraden Zahl eine ${}1$ addiert, ändert sich die Zehnerziffer nicht), Die Beziehung ${}c_{i}=r_{i}+d_{i}$ folgt direkt.

Bei ${}b=5$ kommen nur die Überträge ${}0,1,2,3,4$ in Frage. Somit stimmen die ganzzahligen Anteile bei der Division mit Rest von ${}a_{i}\cdot 5+d_{i}$ bzw. ${}a_{i}\cdot 5$ durch ${}10$ überein (wenn man zu einer durch ${}5$ teilbaren Zahl eine Zahl ${}\leq 4$ addiert, ändert sich die Zehnerziffer nicht). Die Beziehung ${}c_{i}=r_{i}+d_{i}$ folgt wieder direkt.